مقدمه‌ای کوتاه بر ریاضیات
پیش‌گفتار
اوایل قرن بیستم، ریاضیدان بزرگ، داوید هیلبرت، متوجه شد که تعدادی از
استدلال‌های مهم ریاضی ساختار مشابهی دارند. در واقع، او فهمید که در سطح
مناسبی از کلیت، همهٔ این استدلال‌ها را می‌توان یکسان محسوب کرد. این
ملاحظه و ملاحظات دیگر شبیه به آن، به ایجاد شاخهٔ جدیدی از ریاضیات منجر
شد و یکی از مفاهیم بنیادی این شاخه به نام هیلبرت نامگذاری شد. مفهوم فضای
هیلبرت چنان بخش بزرگی از ریاضیات جدید، از نظریهٔ اعداد تا مکانیک
کوانتومی را روشن کرد، که اگر دست‌کم مقدمات نظریهٔ فضای هیلبرت را ندانید،
نمی‌توانید ادعا کنید که ریاضیدان آموزش‌دیده‌ای هستید.
اما فضای هیلبرت چیست؟ در هر دورهٔ دانشگاهی ریاضیات، درسی هست که در آن
فضای هیلبرت به‌عنوان یک فضای ضرب داخلی کامل تعریف می‌شود. فرض بر آن است
که دانشجوی حاضر در چنین درسی، از درس‌های قبل می‌داند که فضای ضرب داخلی،
فضایی برداری مجهز به یک ضرب داخلی است و فضایی کامل است اگر هر دنبالهٔ
کوشی در آن همگرا باشد. البته باز هم برای اینکه این تعریف‌ها معنی داشته
باشند، دانشجو باید تعاریف فضای برداری، ضرب داخلی، دنبالهٔ کوشی، و
همگرایی را بداند. صرفاً برای اینکه یکی از این تعاریف را (که طولانی‌ترین
آنها نیست) ببینید: دنبالهٔ کوشی دنباله‌ای است مثل …, 3x ,2, x 1x به
طوری که به‌ازای هر عدد مثبت مثل єعددی صحیح مثل N وجود داشته باشد که به
ازای هر دو عدد صحیح بزرگ‌تر از N مثل p و q، فاصلهٔ xp تا xq حداکثر є
باشد.
خلاصه، برای اینکه امیدی به درک فضای هیلبرت داشته باشید، باید ابتدا کل
سلسله مراتب مفاهیم سطح پایین‌تر را یاد گرفته و هضم کرده باشید. تعجب‌آور
نیست که این کار به وقت و تلاش نیاز دارد. چون بسیاری از مهم‌ترین ایده‌های
ریاضیات همین‌طورند، حدی قاطع برای آنچه می‌توان در کتابی ارائه داد که
می‌کوشد مقدمه‌ای قابل دسترس بر ریاضیات باشد، وجود دارد، بخصوص اگر قرار
باشد که کتاب خیلی کوتاه باشد.
من به‌جای اینکه دنبال راه زیرکانه‌ای برای دور زدن این مشکل باشم، توجه
خود را به سد دیگری بر سر راه ارتباط ریاضی قرار دارد متمرکز کرده‌ام. این
سد که بیشتر فلسفی است تا فنی، آنان را که با مفاهیمی مثل بینهایت، ریشهٔ
دوم منهای یک، بعد بیست‌وششم و فضای منحنی کنار‌آمده‌اند، از آنان که این
مفاهیم را به طرز آزاردهنده‌ای تناقض‌آمیز می‌دانند جدا می‌کند. این امکان
وجود دارد که بدون غرق شدن در ریزه‌کاری‌های فنی، به این مفاهیم خوگرفت، و
هدف من این است که نشان دهم چگونه می‌توان این کار را کرد.
اگر بتوان گفت که این کتاب پیامی دارد، آن پیام این است که باید انتزاعی
اندیشیدن را یاد گرفت، چون با این کار، بسیاری از مشکلات فلسفی خود‌به‌خود
از میان می‌روند. در فصل2 مفصل شرح می‌دهم که منظورم از روش انتزاعی چیست.
فصل 1 با نوعی انتزاع سروکار دارد که آشناتر و مرتبط‌تر است: فرایند بیرون
کشیدن ویژگی‌های اساسی یک مسئلهٔ مربوط به جهان واقعی، به این ترتیب، تبدیل
آن به یک مسئلهٔ ریاضی. این دو فصل و فصل 3 که در آن توضیح می‌دهم منظور
از برهان دقیق چیست، دربارهٔ ریاضیات به معنای کلی هستند.
پس از آن، به موضوعات خاص‌تری می‌پردازم. فصل آخر بیشتر در مورد
ریاضیدان‌هاست تا خود ریاضیات، و بنابراین، روح این فصل تا حدی متفاوت از
بقیهٔ کتاب است. توصیه می‌کنم فصل 2 را پیش از خواندن بقیهٔ فصل‌ها
بخوانید؛ ولی غیر از این کتاب تا حد ممکن غیر سلسله مراتبی تنظیم شده است:
در اواخر کتاب، فرضم این نیست که خواننده همهٔ مطالب قبلی را خوانده و
به‌خاطر سپرده است.
برای خواندن کتاب، دانش قبلی بسیار کمی لازم است؛ GCSE انگلستان یا معادل
آن کافی است. اما پیش‌فرضم این است خواننده تا حدی به خواندن این کتاب
علاقه دارد، و نیازی نیست که چنین علاقه‌ای را ایجاد کنم. به همین دلیل، از
حکایت، کارتون، علامت‌های تعجب، عناوین خنده‌دار برای فصل‌ها، یا تصاویر
مجموعهٔ مندلبرات صرف‌نظر کرده‌ام. همچنین از آوردن موضوعاتی مثل نظریهٔ
آشوب و قضیهٔ گودل، که توجه به آنها متناسب با اثرشان بر پژوهش‌های جاری
ریاضی نبوده است، و به‌هر حال، در بسیاری کتاب‌های دیگر به‌خوبی به آنها
پرداخته شده است اجتناب کرده‌ام. در عوض به موضوعات دنیوی‌تری پرداخته‌ام و
آنها را به تفصیل توضیح داده‌ام تا نشان دهم درک این موضوعات هم
پیچیدگی‌هایی دارد. به بیان دیگر، هدفم بیشتر عمق بوده است تا عرض و
کوشیده‌ام تا دفاعیهٔ جریان اصلی ریاضیات را از زبان خودش به گوش خواننده
برسانم.
مایلم از مؤسسهٔ ریاضیات کِلی و دانشگاه پرینستون برای حمایت و
مهمان‌نوازیشان هنگام نوشتن بخشی از این کتاب تشکر کنم. بسیار سپاسگزار
گیلبرت ادیر، ربکا گاورز، امیلی گاورز، پاتریک گاورز، جاشوا کاتز، و ادمون
تامس هستم که نسخه‌های اولیهٔ کتاب را خواندند. گرچه اینان باهوش‌تر و
آگاه‌تر از آن‌اند که خوانندهٔ عام محسوب شوند، دانستن اینکه کتاب دست‌کم
برای چند غیرریاضیدان قابل فهم است برایم اطمینان‌بخش بود. نکته‌هایی که
اینان بازگو کردند بهبود زیادی را سبب شد. این کتاب را به امیلی تقدیم
می‌کنم، به امید اینکه برایش نشانه‌ای باشد ازآن‌چه من تمام وقت در حال
انجامش هستم.
نکاتی مهم راجع به تیروئید
اگر مشکل تیروئید دارید یا اینکه از این موضوع اطلاع ندارید توصیه می کنیم این مطلب را بخوانید.
تیرویید از جمله غدد بدن است که در تمام طول عمر فعال است و با ترشح هورمون تیرویید، اعمال حیاتی مهمی را در درون بدن کنترل می‌کند….
به طور مسلم، اختلال در تولید این هورمون
ایجاد علایم و عوارض متعددی را در بدن سبب خواهد شد. آنچه درباره عملکرد
غده تیرویید و همچنین اختلالات مربوط به ترشح هورمون‌های آن اهمیت دارد،
این مساله است که عوارض بیماری‌های تیرویید در سنین گوناگون، متفاوت است و
در هر سن، علایم مخصوص همان سن بروز می‌کند. همچنین این اختلالات هورمونی
ممکن است در هر سنی از بدو تولد تا دوران کهولت در افراد بروز می‌کند و به
علت اعمال بسیار مهم و حیاتی هورمون تیرویید در بدن افراد، تشخیص به موقع
بیماری تیرویید از عوارض خطرناک این بیماری‌ها در بدن جلوگیری خواهد کرد.
به‌طور معمول، افزایش سن در افراد با بیماری‌ها و علایم جسمی
خاصی همراه است که اغلب افراد به آنها آگاهی دارند. بسیاری از سالمندان
نیز حالات گوناگون و علایمی را که در ذهن و جسم احساس می‌کنند، به سن بالای
خود مربوط می‌دانند و با این توجیه که این علایم به دوران کهولت اختصاص
دارد و اغلب درمانی ندارد، به آن نشانه‌ها توجه نمی‌کنند.
برای مثال،
اگر یک فرد سالمند به کاهش تمرکز و یا کم‌حافظگی مبتلا شود، آن را با
افزایش سن خود توجیه می‌کند. حتی در صورت بروز تپش قلب و درد قفسه سینه،
بیماری قلب اولین گزینه مورد توجه شخص و اطرافیان اوست.
تمام این مسایل که افزایش سن می‌تواند موجب
آن شود، در یک نگاه اجمالی منطقی به نظر می‌رسد اما لازم به تذکر است که
بسیاری از علایم بیماری‌ها در دوران سالمندی با دوران میانسالی و جوانی
متفاوت است و نباید همه آنها را با افزایش سن توجیه کرد.
به طور مثال،
بیماری‌های تیرویید از جمله بیماری‌هایی هستند که باید در دوران سالمندی
مورد توجه قرار بگیرد زیرا درباره اثر کم‌کاری یا پرکاری تیرویید
روی عملکرد شناختی سالمندان مدارک کافی گزارش شده است. در سالمندان،
اختلالات غده تیرویید به شکل غیرمعمول ظاهر می‌شود. برای مثال، پرکاری
تیرویید با حالت‌های بی‌خوابی، فراموشی و کاهش تمرکز حواس همراه است.
کم‌کاری آن نیز به شکل کندی حرکات جسمی و ذهنی تظاهر می‌یابد. ضعیف شدن
حافظه، کاهش تمرکز و ضعیف شدن قدرت شناخت در افراد بروز می‌کند. برخی از
سالمندان مبتلا به پرکاری تیرویید، اغلب از دردهای قلبی
و تپش قلب شکایت می‌کنند غافل از اینکه این علایم به علت اختلال در غده
تیرویید فرد بروز می‌کند و تا زمانی که این مشکل درمان نشود، علایم بیماری
از بین نخواهد رفت.
همچنین نباید علایم مربوط به کم‌حافظگی و تمرکز
نداشتن فرد سالمند را همیشه با کهولت سن توجیه کرد. بسیار دیده شده است که
درمان کم‌کاری تیرویید در بیماران سالخورده موجب به وجود آمدن شرایط بهتر
ذهنی در بیمار شده است. بنابراین توصیه می‌کنم اگر به مشکلات حافظه دچار
شده‌اید، از پزشک‌تان بخواهید بررسی تیرویید را هم مدنظر قرار دهد.
