قوانین نیوتن
مدت‌ها بود كه مسأله ارتباط نیرو و حركت امری
ناشناخته قلمداد می‌شد، البته از زمان ارسطو تا گالیله نظریاتی در این
مورد مطرح شد بود. اما نیوتن ( صاحب عكس مقابل) قوانین خیلی خوبی را در این
باره كشف نمود.
اهمیت قوانین نیوتن در جهان شمول بودن آنها است.
تفکیک نیروها و در نتیجه پیدا کردن نیروی موثر بر یک جسم برای بررسی و
پیشگویی حرکت آتی جسم، اهمیت زیادی دارد. همین تشخیص نیروی موثر وارد بر
جسم است که جهان شمول بودن قوانین نیوتن و زیبایی آن را جلوه گر می سازد.
زیبایی و جذابیت این قوانین در ظاهر ساده و مفاهیم عمیق و بنیادی آن است که
وجوه مشترک و تفاوت های حرکت یا سکون سنگی بر سطح زمین را با گردش سیاره
ای غول پیکر به دور یک ستاره را تحت قوانینی خاص توضیح می دهد. این دست
آورد بزرگ نتیجه کار و کوشش چند هزار ساله ی اندیشمندان بود که سرانجام
توسط نیوتن تدوین شد. نگاهی گذرا به تاریخ علم فیزیک، نشان می دهد که
انسانهای اندیشمند چه زحمات طاقت فرسایی را تحمل کردند و چه هزینه ی سنگینی
را پرداختند تا معادلات حرکت شناخته و مطرح گردد. نیوتن با سه قانون
معروف خود درباره حرکت پایه‌های مکانیک کلاسیک را طوری مستحکم کرد که هنوز
هم با گذشت سالها این قوانین در زندگی روزمره بشر و در علوم مختلف
کاربردهای فراوانی دارند. این قوانین در مورد حرکت و نیروهای دخیل در آن
میباشد.
اسحق نیوتن (1643-1727)
نیوتن در
سال 1687 م. “اصول ریاضی فلسفه‌ی طبیعی” را به نگارش درآورد. در این کتاب
او مفهوم گرانش عمومی را مطرح ساخت و با تشریح قوانین حرکت اجسام، علم
مکانیک کلاسیک را پایه گذاشت. نیوتن همچنین در افتخار تکمیل حساب دیفرانسیل
با ویلهلم گوتفرید لایب نیتز ریاضیدان آلمانی شریک است. نام نیوتن با
انقلاب علمی در اروپا و ارتقاء تئوری خورشید- مرکزی (heliocentrism) پیوند
خورده است. او نخستین کسی است که قواعد طبیعی حاکم بر گردشهای زمینی و
آسمانی را کشف کرد. وی همچنین توانست برای اثبات قوانین حرکت سیّارات کپلر
برهانهای ریاضی بیابد. در جهت بسط قوانین نامبرده، او این جستار را مطرح
کرد که مدار اجرام آسمانی ( مانند ستارگان دنباله دار) لزوما بیضوی نیست
بلکه می تواند هذلولی یا سهمی نیز باشد. افزون بر اینها، نیوتن پس از
آزمایشهای دقیق دریافت که نور سفید ترکیبی است از تمام رنگ های موجود در
رنگین‌کمان. در آن دوران دروس دانشکده عموما بر پایه ی آموزه‌های ارسطو
تنظیم می‌شد ولی نیوتن ترجیح میداد که با اندیشه های مترقی تر فیلسوفان
نوگرایی چون دکارت، گالیله، کپرنیک و کپلر آشنا شود. در 1665 م. او موفق به
کشف قضیه‌ی دو جمله‌ای در جبر شد. یافته ای که بعدها به ابداع حساب
دیفرانسیل انجامید.
در سال 1684 م. نیوتن که مطالعات خود را
درباره‌ی گرانش و چگونگی حرکت سیارات کامل کرده بود، رساله ای در این مورد
نوشت که بسیار مورد توجه ادموند هالی منجم معروف انگلیسی قرار گرفت. با
تشویق و پیگیری او سرانجام نیوتن کتابش را تکمیل و با سرمایه هالی منتشر
کرد. کتاب (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) اصول ریاضی
فلسفه‌ی طبیعی بر جهان علم بویژه فیزیک تأثیری عظیم گذاشت و بعضی آن را
بزرگترین کتاب علمی تاریخ دانسته اند.
کپلر نتوانسته بود توضیح دهد
که چرا مدار سیاره‌ها بیضی است و چه نیرویی آنها را به حرکت در می‌آورد.
همچنین مشخص نبود که به چه علت سرعت مداری سیارات وقتی به خورشید نزدیکتر
می شوند، افزایش می‌یابد.نیوتن در کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی به تمامی
این پرسش ها پاسخ گفت. او ثابت کرد که نیروی کشش میان اجسام آسمانی، طبق
قانون ” عکس مربع” عمل میکند یعنی مقدار نیروی گرانش میان خورشید و یک
سیاره متناسب است با عکس مجذور فاصله میان آن دو. او با تحلیل ریاضی نشان
داد که قانون عکس مربع به ناگزیر مسیر حرکت سیاره ها را بیضی میسازد.
آنگاه او گام بلند دیگری برداشت و قانون گرانش عمومی را وضع کرد که به موجب
آن هر جسمی در عالم به هر جسم دیگری نیروی کششی وارد میکند و مقدار این
نیرو با رابطه ی نامبرده محاسبه‌پذیر است. در بخش دیگری از کتاب اصول
ریاضی فلسفه طبیعی، نیوتن چگونگی جنبش اجسام را در قالب سه قانون توصیف
کرده است. ارسطو بر این باور بود که اجسام در حالت طبیعی ساکن هستند و برای
اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید پیوسته نیرویی
بر آن وارد شود در غیراین صورت به حالت «طبیعی» خود برمی‌گردد و ساکن
می‌شود. اما نیوتن با بهره‌گیری از پژوهشهای گالیله به این پندار درست رسید
که اگر جسمی با سرعت یکنواخت به حرکت درآید و نیرویی بیرونی به آن وارد
نشود تا ابد با شتاب صفر به حرکت خود ادامه خواهد داد. این ویژگی را نیوتن
در نخستین قانون حرکت خود چنین بیان میکند: از لحاظ وضعیت حركت، یك
جسم می‌تواند 3 حالت داشته باشد. 
قانون اوّل و دوّم نیوتن، جداگانه به بررسی این 3 حالت می‌پردازد.
قانون اوّل نیوتن
این سنگ چرا ساكن است؟ چرا ضربه زدن به آن كار سختی است؟
قانون اول نیوتن:
هر
جسم که در حال سکون یا حرکت یکنواخت در راستای خط مستقیم باشد، به همان
حالت می‌ماند مگر آنکه در اثر نیروهای بیرونی ناچار به تغییر آن حالت شود.
دومین قانون به این پرسش پاسخ می‌دهد که اگر بر یک جسم نیروی خارجی وارد شود، حرکت آن چگونه خواهد بود.
آیا
تصویر این فضاپیما (از كتاب علوم سوّم راهنمایی) را یادتان هست. فضاپیمایی
كه در دور دست، بدون این كه هیچ نیرویی آن را به سمت جلو برده یا جلوی
حركت آن را بگیرد، در فضای بیكران در حال حركت است.
چرا تندی فضاپیما ثابت است؟ و چرا در مسیر مستقیم به حركتش ادامه می‌دهد؟
برای مشاهده فیلمی در این رابطه کلیک کنید.
نیوتن بهترین جواب را برای این پرسش‌ها ارائه داد، پاسخ او تحت عنوان قانون اوّل نیوتن ثبت شد:
یك
جسم در حالت سكون باقی می‌ماند یا به حركت یكنواخت بر خط راست ادامه
می‌دهد مگر آن كه نیروی برآیندی به آن وارد گردد و جسم را مجبور به این
تغییر حالت‌ها بكند.
در فیزیك، به تمایل اجسام به حفظ حالت كنونی یا اوّلیه (سكون یا تندی ثابت)، اینرسی یا لَختی میگویند.
در فیلم زیر تمایل اجسام به حفظ وضعیت حركت خودشان را می بینید.
برای مشاهده فیلم کلیک کنید.
مقدار لَختی هر جسم را با جرم آن اندازه می‌گیرند. اجسام پر جرم لَختی
زیاد دارند، یعنی برای تغییر وضعیت (سكون یا حركت) آن ها نیروی زیادی لازم
است، واحد جرم در سیستم SI كیلوگرم (kg) میباشد.
قانون دوم نیوتن:
آهنگ
تغییر اندازه‌ی حرکت یک جسم، متناسب با نیروی برآیندِ وارد بر آن جسم است و
در جهت نیرو قرار دارد. فرمولی که از این قانون برمی‌آید.
F=ma
در
این رابطه F برایند نیروهای وارد بر جسم، m جرم جسم و a شتاب است. این
رابطه به معادله بنیادین مکانیک کلاسیک معروف است که مطابق آن، شتاب یک جسم
برابر است با نیروهای خالص وارده تقسیم بر جرم جسم. معمولاً قانون دوم
نیوتن را با استفاده از اندازه حرکت تعریف می کنند. اندازه حرکت جسمی به
جرم m که با سرعت v حرکت کی کند از رابطه زیر تعریف می شود:
p=mv
که در آن p اندازه ی حرکت است با توجه به اینکه شتاب مشتق سرعت است خواهیم داشت:
F=dp/dt
سومین
قانون می‌گوید که هرگاه جسمی به جسم دیگری نیرو وارد کند، جسم دوم نیز
نیرویی به همان بزرگی ولی در سوی مخالف بر جسم اول وارد میکند و برآیند
کنش همزمان این دو نیرو باعث حرکت شتابدار می‌شود.
قانون سوم:
برای هر کنشی همواره یک واکنش برابر ناهمسو وجود دارد.
قبل
از ادامه ی بحث لازم است اشاره ی کوتاهی به حرکت دورانی داشته باشیم.
هرگاه جسمی در مسیر دایروی حرکت کند، برای آن سرعت زاویه ای و شتاب زاویه
ای نیز قابل تعریف است.
شکل زیر
روابط بالا نشان می دهد که چگونه می
توان از کمیتهای خطی در حرکت دورانی استفاده کرد. بنابراین گردش ماه بدور
زمین را نیز می توان با توجه به سرعت خطی آن توصیف کرد.
قانون جهانی گرانش
پرتابه
ای که بطور افقی پرتاب می شود، مسیری سهمی شکل را بطرف زمین می پیماید و
سرانجام به سطح زمین سقوط می کند. اما چون زمین به شکل کره استّ، سطح آن
انحنا دارد. حال اگر پرتابه ای باسرعت زیاد از بالای یک قله پرتاب شود،
تحت تاثیر گرانش مسری منحنی را طی خواهد کرد. اگر سرعت این پرتابه به
اندازه ی کافی باشد، می تواند یک دایره ی کامل را حول زمین طی کند و دائم
دور زمین بچرخد. شکل زیر
نیوتن فرض کرد که نیروی
گرانش زمین مانند کره ای بزرگ و در حال انبساط در همه جهات پراکنده است.
بنابراین مساحت این کره برابر است با
وی سپس استدلال کرد که نیروی
گرانشی که بر سطح این کره پراکنده شده است، می بایست متناسب با مجذور شعاع
آن ضعیف شود. درست مانند شدت نور و صوت. به این ترتیب برای نیوتن آشکار شد
که ماه بایستی تحت اثر این نیروی گرانش کشیده شود. سپس استدلال کرد چنانچه
ماه با نیروی معینی بوسیله زمین کشیده می شود، زمین نیز بایستی با همان
اندازه بوسیله ماه کشیده شود.
آنگاه نتیجه گرفت که نیروی گرانشی میان
هر دو جسمی که در جهان است، مستقیماً متناسب با حاصلضرب جرمهای آنهاست. این
نتیجه را قانون جهانی گرانش می نامند که بصورت زیر بیان می شود.
قانون جهانی گرانش نیوتنG= 6.672 x 10-11 N2/kg2
در
این رابطه m1, m2 بترتیب جرم دو جسم، G ثابت جهانی گرانش و r فاصله ی دو
جسم است. لازم به ذکر است که نیوتن فرض کرد جرم اجسام که به یکدیگر نیروی
گرانش وارد می کنند(مثلاً زمین و خورشید)، در مرکز آنها متمرکز شده و از
این نظر مانند دو ذره عمل می کنند.
با گذشت زمان مشخص شد که سیارات و ستارگان از این قانون تبعیت می کنند.
نیوتن هیچگاه قوانین خود را بصورت تحلیلی ننوشت، این کار اولین بار توسط اویلر انجام شد.
شدت میدان گرانش را می توان بصورت زیر محاسه کرد:
با توجه به شکل بالا و قانون دوم نیون، نیروی جانب مرکز را می توان بصورت زیر حساب کرد:F=ma=GmM/R2
این
روابط نشان می دهد که شدت گرانش وارد از طرف زمین بر اجسام مستقل از جرم
آنها است و تنها به جرم زمین و فاصله آنها دارد. بنابراین گفته ی ارسطو را
که اجسام سنگین تر زودتر سقوط می کنند، باطل می کند.
F12 = -F21 = -Gm1m2 r/r3
در حرکت دایروی جرم m2 اندازه ی حرکت بدور m1 شتاب جانب مرکز با توجه به قانون نیوتن از رابطه ی زیر به دست می آید:
a = -Gm1r/ r3
اندازه حرکت زاویه m2 بدور m1 برابر است با:
L = r x p = r x mv = mr x v
با
توجه به اینکه هیچ نیروی خارجی بر سیستم m1 و m2 اعمال نمی شود، لذا
گشتاور خارجی وجود ندارد. بنابراین اندازه حرکت زاویه ی سیستم ثابت است و
خواهیم داشت:
اگر سیستم متشکل از زمین و خورشید را در نظر بگیریم، نیروی
جانب مرکز دوران زمین بدور خورشید نیروی گرانش است. چون این سیستم منزوی
است ( نیروی خارجی بر آن اعمال نمی شود)، لذا اندازه حرکت زاویه ای زمین L
بدور خورشید نیز ثابت است. بنابراین با توجه به رابطه ی L=mrv با کاهش
فاصله، سرعت افزایش می یابد. در واقع زمین بدور مرکز خوشید نمی گردد، بلکه
بدور مرکز جرم سیستم (زمین و خورشید) می گردد، لذا با تغییر موقعیت زمین
نسبت به خورشید، مرکز جرم نیز تغییر می کند و مدار حرکت از حالت دایره خارج
شده و به بیضی تبدیل می شود و چنین بنظر میرسد که خورشید همواره در یکی از
کانونهای بیضی است.مسیر حرکت زمین بدور خورشید دایره نیست، زیرا زمین بدور مرکز جرم مشترک (زمین و خورشید) می چرخد.
این مرکز جرم نیز با تغییر موقعیت زمین نست به خورشید، تغییر می کند. لذا مسیر حرکت از حالت دایروی خراج می شود.
حرکت اجرام بدور خورشید یکی از شکل های مقاطع مخروطی است که بیضی حالت خاصی از آن است.
تصویر منظومه شمسی، هر یک از سیارات علاوه بر خورشید تحت تاثیر جاذبه ی دیگر سیارات هستند.
بنابراین مدار حرکت آنها را باید با توجه به حرکت سایر سیارات محاسبه کرد.
زمینه تاریخی قانون جهانی گرانش نیوتن
بعد
از ارائه ی قوانین کپلر و کشفیات پر اهمیت گالیله، ریاضیدانان و
فیزیکدانان علاقه زیادی به موضوع های اختر شناسی پیدا کردند. در این زمینه
نظریه های مختلفی داده شد. رابرت هوک و ادموند هالی به این نظر باقی بودند
که نیرویی که سیاره ها را بطرف خورشید می کشد، آنها را در مدار خود نگاه می
دارد. از این گذشته آنها گمان می کردند که این نیرو باید با دور شدن از
خورشید و به نسبت مربع فاصله ضعیف شود. کپلر نیز وجود این نیرو را قبول
داشت و تصور می کرد که این نیرو به نسبت فاصله ضعیف می شود.
بنابراین
داستان افتادان سیب و توجه نیوتن به گرانش از این نظر می تواند واقعی باشد
که نیوتن تلاش کرد نیرویی که زمین به سیب وارد می کند، همان ماهیتی را دارد
که زمین به ماه وارد می کند. اما اگر ادعا شود که نیوتن یک تنه و با توجه
به سقوط سیب قانون جهانی گرانش را کشف کرد، شناختن روند تکامل علم را مختل
می کند. حتی 50 سال قبل ازنیوتن، گالیله به شتاب گرانش توجه داشت و آن را
بیان کرده بود. اما امتیاز نیوتن در این بود که اثر همه ی نیروها را تحت
قانون کلی توضیح داد و بصورت ریاضی بیان کرد. علاوه بر آن نیوتن با یک فرض
اساسی که قبل از وی به آن توجه نشده بود توانست قانون جهانی گرانش را فرمول
بندی کند. وی فرض کرد که جسمی کروی که چگالی آن در هر نقطه به فاصله آن تا
مرکز کره بستگی دارد، یک ذره ی خارجی را طوری جذب می کند که گویی همه جرم
آن در مرکز متمرکز شده است. این قضیه توجیه وی را از قوانین حرکت سیارات
کامل کرد، زیرا انحراف جزئی خورشید از کرویت واقعی در اینجا قابل صرف نظر
کردن است. پس از آنکه نیوتن قانون جهانی گرانش را مطرح کرد، رابرت هوک ادعا
کرد که نیوتن کشف قانون گرانش وی را دزدیده و به نام خود ارائه داده است.
به همین دلیل مشاجره شدیدی بین نیوتن و هوک در گرفت که موجب رنجش و حتی
بیماری نیوتن گردید.
دانلود قوانين نيوتن :
قوانین نیوتن
قانون اول فیلسوفان کهن بر این باور بودند که اجسام در حالت طبیعی ساکن
هستند و برای اینکه یک جسم با سرعت یکنواخت به حرکت خود ادامه دهد، باید
پیوسته نیرویی بر آن وارد شود در غیراین صورت به حالت «طبیعی» خود
برمی‌گردد و ساکن می‌شود. اما نیوتن با بهره‌گیری از پژوهشهای گالیله به
این پندار درست رسید که اگر جسمی با سرعت یکنواخت به حرکت درآید و نیرویی
بیرونی به آن وارد نشود تا ابد با شتاب صفر به حرکت خود ادامه خواهد داد.
این ویژگی را نیوتن در نخستین قانون حرکت خود چنین بیان میکند: اگر برآیند
نیروهای وارد بر یک جسم صفر باشد، اگر جسم در حالت سکون باشد تا ابد ساکن
می ماند، و اگر جسم در حال حرکت باشد تا ابد با همان سرعت و در همان جهت به
حرکتش ادامه می دهد. به این قانون، قانون لختی یا اینرسی هم میگویند.
قانون دوم این قانون در سال ۱۶۸۷ در کتاب اصول ریاضی فلسفه طبیعی توسط
نیوتن منتشر شد. این قانون به رابطه بین نیروهای واردآمده به یک جسم و شتاب
همان جسم می‌پردازد. \Sigma_i F_i\;=\;ma بنا بر قانون اول نیوتن اگر بر
جسمی نیرو وارد نشود جسم یا ساکن می‌ماند و یا حرکت یکنواخت بر خط راست
خواهد داشت. نتیجه آشکار قانون اول این است که اگر بر جسم نیرو وارد شود
جسم ساکن نمی‌ماند و حرکت یکنواخت بر خط راست نیز خواهد داشت، در این صورت
وارد کردن نیرو بر جسم در آن شتاب می‌دهد. قانون دوم نیوتن در واقع رابطه
شتاب با نیرویی که بر آن وارد می‌شود را بیان میکند. شتاب جسمی به جرم m
که نیروی F بر آن وارد می‌شود هم جهت و متناسب با نیروی وارد بر آن است و
با جرم جسم نسبت عکس دارد. این بیان را می‌توان بصورت زیر نوشت: a = F/m F
برآیند نیروهایی است که به علت اثر اجسام دیگر روی جسم مورد نظر وارد
می‌شود. a شتاب آن و m جرم جسم است. دستگاه مختصات لخت این قانون تنها در
دستگاه‌های مختصات لخت صحیح میباشد. اینکه در دستگاه‌های غیر لخت چه
رابطه‌ای بین نیروهای وارد آمده و شتاب شیء وجود دارد. دستگاه های غیر لخت
این گونه دستگاه ها بر این اصل پایدارند که هیچ چیز در کره زمین در جای خود
ثابت نمی باشد، به این دلیل که کره ی زمین دارای حرکت وضعی و انتقالی و…
در فضا می باشد.این گونه دستگاه ها تکیه گاه یا همان مرجع حرکت جسم(زمین)
را به صورت گردان برای ما ایجاد می کنند. از این گونه دستگاه ها در طراحی
ها و آزمایش هایی استفاده می شود که لازم است تحت شرایط واقعی انجام شوند
مانند:پرتاب موشک ها وماهواره ها از زمین به فضا. قانون سوم سومین قانون
حرکت نیوتون به این صورت بیان می‌شود که “هر عملی را عکس العملی است ؛
مساوی آن و در جهت خلاف آن .. این قانون به قانون کنش و واکنش هم معروف
میباشد. یعنی که هرگاه جسمی به جسمی دیگر نیرو وارد کند جسم دوم نیز نیرویی
به همان بزرگی ولی در خلاف جهت بر جسم اوّل وارد میکند. باید توجّه داشت
که این دو نیرو به دو جسم مختلف وارد میگردند و نباید آنها را با هم بر
آیندگیری کرد. مثلاً هنگامی که شخصی بر دیوار نیرو وارد میکند دیوار نیز
بر شخص نیرو وارد میکند اندازه این دو نیرو باهم برابر میباشد ولی نیروی
اوّل به دیوار وارد میشودو نیروی دوم به شخص. قانون سوم نیوتن معمولاً به
دو شکل بیان می‌شود: شکل ضعیف و شکل قوی. در شکل ضعیف تنها به این اکتفا
می‌شود که نیروی واکنش قرینه نیروی کنش است یعنی \vec{F}_{1\to2} =
-\vec{F}_{2\to1} (شاخصهای پایین معرف آن است که نیرو از جسم 1 به جسم 2
وارد می‌شود یا برعکس). اما در شکل قوی علاوه بر این فرض می‌شود که این
نیروها در امتداد خط واصل میان دو ذره می‌باشند یعنی \vec{F}_{1\to2}
\propto (\vec{r}_1 – \vec{r}_2). قانون سوم همیشه در طبیعت صادق نیست
مثلاً در مورد نیروهای الکترو مغناطیسی وقتی که اجسام موثر بر هم از یکدیگر
بسیار دور باشند و یا به تندی شتابدار شوند و یا در مورد هر نیرویی که با
سرعتهای معمولی از یک جسم به جسم دیگر منتقل شود، صدق نمیکند. خوشبختانه در
مکانیک کلاسیک از بسط‌های قانون سوم استفاده کمی می‌شود و مشکلات آن تأثیر
چندانی در مکانیک کلاسیک ندارند . مغلطه ای از قانون سوم نیوتن بی دقتی در
استفاده از قانون کنش و واکنش و مسأله تناقض: فرض کنید که اسبی کالسکه‌ای
را می‌کشد طبق قانون سوم نیوتن کالسکه نیز با همان نیرو اسب را در جهت
مخالف می‌کشد، پس اسب نمی‌تواند کالسکه را به حرکت در آورد؟ اشکال این
استدلال به این صورت است: اگر می‌خواهیم بدانیم که آیا اسب می‌تواند حرکت
کند یا نه، باید نیروهای وارد بر اسب را در نظر بگیریم. نیرویی که بر
کالسکه وارد می‌شود هیچ ربطی به این مسأله ندارد. اسب به این دلیل می‌تواند
حرکت کند که نیرویی که با پاهایش وارد میکند بزرگتر از نیرویی است که
کالسکه با آن اسب را به طرف عقب می‌کشد و کالسکه به این دلیل به حرکت در
می‌آید که نیرویی که اسب با آن کالسکه را بطرف جلو می‌کشد بزرگتر از
نیروهای اصطکاکی است که کالسکه را به طرف عقب می‌کشند. برای اینکه بدانید
یک جسم حرکت میکند باید نیروهای وارد بر آنرا بررسی کنیم. کنش و واکنش
هیچگاه بر یک جسم وارد نمی‌شود.
