چگونه مساله ریاضی را حل کنیم؟
چگونه مساله ریاضی را حل کنیم؟
جورج
پولیا درسال 1995 توجه تمامی دست اندرکاران آموزش یادگیری را به چارچوبی
که برای حل مساله ریاضی ارایه داده بود جلب کرد. مدل جورج پولیا برای حل
مسایل ریاضی شامل چهار مرحله زیر است:
1) فهمیدن و درک مساله
2) تهیه طرحی برای حل مساله
3) اجرای طرح
4) بازنگری.
کسانی
که مشغول حل مساله هستند می توانند مهارتهای فردی و استراتژیهای مناسب را
در قالب این چارچوب فرا گیرند و دانش خود را توسعه دهند. البته باید توجه
داشت که تمام اجزای این چارچوب در حال تعامل دایم با هم هستند. مثلأ ممکن
است کسی در مرحله سوم متوجه شود که طرحی که تهیه کرده به نتیجه نخواهد
رسید، یا موانعی در راه اجرای آن است. در نتیجه به مرحله اول و دوم بازگشته
و با درک جدیدی که از مساله پیدا می کند، طرحی نو می ریزد و آن را به اجرا
می گذارد. نکاتی چند برای هر کدام از مراحل چهارگانه بالا متذکر می
شویم…
1) فهمیدن مساله:
در
این مرحله، برای کسی که قصد حل مساله ای را دارد، باید پیش از هر چیز روشن
شود که مساله از نوع “ثابت کردنی” است یا “پیدا کردنی”. سپس فرد تشخیص دهد
که اجزای مساله از جمله داده ها و مجهولات کدام ها هستند. در جهت دستیابی
به این مهم نکات زیر را می توان در نظر گرفت:
v خواندن مساله به کرات
v مراجعه به منابع دیگر برای روشن ساختن معنی لغات و عبارات کلیدی
v بیان مساله با عبارات آشناتر
v رسم شکل
v مدلسازی مناسب با موقعیت مساله
v ارزیابی داده های مساله از جهت کافی بودن
v تعیین فرضیه های پنهان مساله اما مفید برای حل مساله.
2) تهیه طرحی مناسب برای حل مساله:
هنگامی که مساله خوب فهمیده درک شد ،میتوان برای آن طرحی مناسب تهیه کرد.با توجه به این مساله ممکن است از راههای مختلفی قابل حل باشد ،باید در مورد استراتژی هایی که مناسب تر به نظر میرسند ،کمک گرفت .به هر حال کسی که می خواهد مساله حل کن خوبی باشد ،باید توانایی تجدید نظر در طرح را –در صورت عدم کارایی استراتژی های اولیه خود –داشته باشد. چند نمونه از استراتژی هایی که ممکن است در طول حل مساله مورد استفاده واقع شوند ،از این قرارند،
v تهیه مدل،یعنی رسم الگوی مشابه یا رسم منحنی متناسب با موقعیت مساله؛
v تهیه جدول نظامدار،و منحنی های سازمان یافته؛
v الگویابی؛
v کار کردن بر عکس؛
v انتخاب نمادهای مناسب؛
v مشخص کردن اطلاعات داده شده مورد احتیاج و خواسته شده؛
v نوشتن یک معادله با یک فرمول؛
v تقسیم مساله به زیرمساله های مختلف و حل هر کدام از آنها؛
v استفاده از استدلال استنتاجی؛
v کنترل فرضیه های مستتر در صورت مساله ؛
v حدس یک جواب و آزمایش آ ن ؛
v حل مساله ساده ترو مرتبط با مساله داده شده؛
3)اجرای طرح:
بعد از آن که طرح مناسب برای حل مساله تهیه شد ؛ باید آن را مورد اجرا گذاشت . نکته اساسی این است که شخص نظارت کامل بر پیشرفت اجرای طرح داشته باشد تا اگر زمانی احساس کرد که طرح ممکن است او را به حل مساله رهنمون نکند ، بتوان طرح جدیدی را تهیه و به اجرا بگذارد .
شخص درگیر حل مساله ،در حالی که ناظر بر پیشرفت طرح است ،می تواند سوال هایی مانند سوال های زیر را از خود بپرسد:
v آیا طرحی که تهیه کرده ام ،مرا به حل مساله هدایت میکند؟
v آیا به طرح بدیلی نیاز دارم ؟ آیا لازم است که طرح فعلی را کنار گذاشته و طرح جدیدی تهیه نمایم؟
v آیا برای اجرای طرح خود ،به اطلاعات اضافه تر یا کمک دیگران نیاز دارم؟
v آیا دقت و تلاشم را برای ردیابی مراحل پیشرفت خود در حل مساله،مستند کرده ام؟
4)بازنگری:
پس
از اتمام مرحله اجرا ،حل کننده مساله باید یک بازنگری بر تمامی مراحل
اجرای طرح تهیه شده، داشته باشد و یک بررسی کلی در مورد مساله انجام دهد.
از جمله موردهای مهمی که در این مرحله باید در نظر گرفت ،یکی معنی دار بودن جواب مساله با توجه به سوال های طرح شده،و دیگری تعمیم پذیری مساله است.هم چنین ،شخص با بازنگری کلی می تواند کاربرد وسیع تراستراتژی های به کار گرفته شده را شناسایی کرده و راه حل های متفاوت حل مساله را مطالعه کند.
مراحل
حل مساله باید به نحوی تدوین شوند تا هم حل مساله برای دیگران مشخص شود
،وهم این که شخص حل کننده مساله بتواند از طریق حل مساله با دیگران ارتباط برقرار کرده واز فرایند و نتیجه های حل مساله خود دفاع نماید
. در این مرحله ،شخص حل کننده مساله میتواند سوال هایی مشابه نمونه های
زیر را از خود بپرسد و سعی در یافتن جواب برای آن ها داشته باشد:
v آیا جواب من به اندازه کافی مستدل است؟
v در جریان حل مساله ،چه چیزی یاد گرفتم که قبلاً نمیدانستم؟
v چه نکاتی در این مساله هست که من میتوانم در مسایل دیگر نیز ،آن ها را تشخیص دهم؟
v آیا میتوانم مساله های مرتبط با این مساله حل شده را مطرح کرده و حل کنم؟
v آیا میتوانم حل مساله را برای دیگران توضیح داده ،مستند نموده یا تعمیم دهم؟
v آبا تمام راه حل های ممکن را یافته ام ؟ آیا مساله راه حل دیگری دارد؟
v آیا به جز استراتژی هایی که در اولین بررسی مرا به حل مساله رسانده اند استراتژی های دیگری را نیز امتحان کرده ام.
پارادوکس های منطقی
به نام خدا
پارادکس های (منطقی)
پارادکس
به هر گزاره یا نتیجه‌ای گفته می‌شود که با گزاره‌هایِ قبلیِ گفته شده در
همان نظریه یا دستگاهِ نظری، و یا با یکی از باورهایِ قویِ پیش‌زمینه،
شهودِ عقلی و یا باورِ عمومی در تناقض باشد. اگر پارادکس به معنای تناقض با
یکی از گزاره‌هایِ همان نظریه‌ای باشد که پارادکس در آن پدید آمده این امر
یک ضعفِ جدی برای آن نظریه محسوب شده و آن را بی‌اعتبار میکند. اما
پارادکس‌هایِ بسیاری وجود دارند که نه با دستگاهِ نظری‌ای که از آن پدید
آمده‌اند، بلکه با باورِ عمومی ما در تناقض اند. برای این قبیل
«پارادکس»ها در واقع این نام دقیقی نیست.
چند مثال هیجان‌انگیز از پارادکس‌ها
1. پارادکس دو قلو در نسبیت خاص:
طبق نظریه نسبیت خاص
اندزه‌گیریِ زمان وابسته به آن است که چه ناظری آن را اندازه می‌گیرد.
اصول نسبیت نتیجه می‌دهند که از دید هر ناظر ساعت‌هایی که حرکت دارند کندتر
از ساعت‌هایِ ساکن کار می‌کنند. غیر فیزیک دانان معمولاً از این گزاره
برداشت نادرستی می‌کنند. برای جلوگیری از این برداشت‌ها باید پرسید: ساعت
باید نسبت به چه کسی متحرک باشد تا کندتر کار کند؟ کسی که در اتومبیل نشسته
است ساعت خودش را ساکن می‌داند، اما کسی که کنار جاده است همان ساعت را
متحرک می‌بیند. همان‌طور که از اسم نظریه برمی‌آید این امر نسبی است، یعنی
نکته دقیقاً این است که «متحرک» هیچ معنایی ندارد: باید بگوییم: «متحرک
نسبت به…». بسیار خوب، پس نسبیت می‌گوید که فرد کنار جاده میتواند ادعا
کند که ساعت داخل اتومبیل کند کار میکند. اما فرد داخل اتومبیل اوضاع را
چگونه می‌بیند؟ نسبیت می‌گوید او حق دارد ادعا کند که خودش ساکن است و جاده
به عقب می‌رود – هیچ رخدادی در جهان نمی‌تواند ثابت کند که او اشتباه
میکند. پس در این صورت او می‌بیند که ساعت فرد کنار جاده کند می‌رود و
ساعت خودش درست کار میکند. این‌ها فقط ادعا نیست، هر دو می‌توانند این
موضوع را اندازه‌گیری کنند و هر دو نیز خواهند دید که ادعای شان صحیح است.
تا این جا هنوز پارادکس وجود ندارد، هرچند که نظریه نسبیت کمی عجیب است.
پارادکس
از این‌جا آغاز می‌شود که فرض کنیم راننده دور بزند و پیش مرد کنار جاده
برگردد. تا لحظه قبل از ملاقاتِ آنها هر کدام ادعا میکند که ساعت دیگری
کند کار میکند و از ساعت خودش عقب است. هنگامی که این دو به هم برسند و
ساعت‌هایشان را کنار هم بگذارند چه می‌بینند؟ کدام راست می‌گفته است؟ اگر
ادعای هر کدام از آنها درست در بیاید با اصل نسبی بودن حرکت تناقض پیدا
خواهیم کرد. یعنی حرکت آن‌طور که گفتیم نسبی نیست. یکی از آنها در این
ادعا که خودش ساکن و دیگری متحرک است به خطا رفته بوده است، و این چیزی است
که نظریه نسبیت قبول ندارد.
راهِِ‌حل:
نظریه
نسبیت فقط برای دستگاه‌هایِ دارای سرعتِ ثابت گفته شده است. اما برای این
که دو ناظر پیش هم بازگردند یکی از آنها باید سرعت‌اش را تغییر دهد
(راننده باید دور بزند یا دنده عقب بگیرد). شتاب داشتن نسبی نیست، یعنی هر
کس نمی‌تواند ادعا کند که ساکن است و دیگری شتاب دارد. این فرقِ اساسی
میانِ سرعت و شتاب (که گالیله و نیوتن آن را کشف کردند) باعث می‌شود که
نسبی بودن همه‌چیز در این مثال از بین برود. ساعت کسی که شتاب گرفته است
عقب می‌ماند.
2. پاردکسِ دروغگو
این پارادکس نسخه‌هایِ متعددی دارد و هر کدام به نوبهٔ خود جالب اند. به این نمونه توجه کنید:
متنِ پارادکس:
جمله‌ای که در زیر می‌آید صحیح است.
جمله‌ای که در بالا آمد ناصحیح است.
پایانِ متنِ پارادکس.
هیچ‌یک از جملاتی که در متنِ پارادکس آمد قادر نیستند صادق یا کاذب باشند – کمی به آنها فکر کنید.
نسخهٔ دیگرِ پارادکس:
یک
آرایشگر در شهری هست که می‌گوید: «فقط و حتماً سرِ کسانی را اصلاح می‌کنم
که خودشان سرِ خودشان را اصلاح نمی‌کنند». سوال این است: این آرایشگر سرِ
خودش را اصلاح میکند یا نه؟ اگر بکند باید نکند و اگر نکند باید بکند!
راهِ‌حل:
این
پارادکس یکی از بحث‌انگیزترین پارادکس‌هایِ تاریخ بوده است و راهِ‌حل‌هایِ
مختلفی برای آن پیشنهاد شده است. مهم‌ترین راهِ‌حلِ آن گذاشتنِ قیدِ زیر
بر رویِ همهٔ زبان‌ها ست: در هیچ زبانی حقِ صحبت دربارهٔ
صدق و کذبِ گزاره‌هایِ خودِ آن زبان وجود ندارد. در نظریه مجموعه‌ها این
حرف معادلِ آن است که هیچ مجموعه‌ای حق ندارد عضوِ خودش باشد.
3. پارادکس تپه شن یا مویِ سر:
یک
دانه شن را در نظر بگیرید. مطمئناً این یک دانه یک تپه شن محسوب نمی‌شود.
حالا فرض کنیم تعدادی دانه شن داریم که هنوز آن‌قدر نشده‌اند که تپه شن به
حساب بیایند. اگر به این تعداد فقط یک دانه اضافه کنیم مطمئناً ناگهان یک
تپه نخواهیم داشت. آن‌چه هست هنوز هم تپه شن نیست. پس هیچ تعدادی شن یک تپه
شن نیست.
همین استدلال را می‌شود با مویِ سر انجام داد و نتیجه گرفت که همهٔ انسان‌ها کچل اند!
راهِ‌حل:
این معضل به این دلیل پدید می‌آید که قواعدِ شفاف و دقیقِ منطقِ کلاسیک را به کلماتِ ذاتاً مبهمِ زبانِ طبیعی
اعمال کرده‌ایم. حال یا باید بگوییم زبانِ انسان ایراد دارد و ابهام یک
ضعف است، و یا اصالت را به زبان داده و بگوییم زبان هرچه هست به همین صورت
درست است، این منطقِ کلاسیک است که ایراد دارد. دراین‌صورت باید منطقی
بسازیم که در آن گزاره‌ها بتوانند ابهام داشته باشند، یعنی گاهی نه صددرصد
صادق و نه صددرصد کاذب باشند، بلکه ارزشی بینابین را اختیار کنند. به این
نوع منطق منطقِ فازی گفته می‌شود.
