تفاوت معادله دیفرانسیل خطی با غیر خطی

معادله دیفرانسیل

تعاریف وکلیات

به طور ساده هر معادله‌ای که شامل مشتق باشد یک معادله دیفرانسیل است. این مشتق می‌تواند یک مشتق ساده یا یک مشتق جزئی باشد.

یکی از معادلات دیفرانسیلی که همه‌ی ما با آن آشنایی داریم، قانون دوم
نیوتون است. اگر جسمی با جرم m، تحت تاثیر نیروی F، با شتاب a به حرکت در
آید، طبق قانون دوم نیوتون:

$F=ma$ (1)

برای اینکه مشخص شود این معادله واقعا یک
معادله‌ی دیفرانسل است کمی آن را بازنویسی می‌کنیم. اول از همه به خاطر
داشته باشید که می‌توان شتاب را به یکی از دو فرم زیر نوشت:

$a=dv/dt$ or $a=d^2u/dt^2$ (2)

که در آنها v، سرعت جسم است، و u، تابع مکان
جسم در هر لحظه (t) می‌باشد. همچنین به خاطر داشته باشید که نیروی F خود
می‌تواند تابعی از زمان، سرعت و/یا مکان باشد.

با این تعاریف می‌توان قانون دوم نیوتون را به صورت معادله‌ی دیفرانسیلی از سرعت یا مکان به صورت زیر نوشت:

$m\ dv/dt= F(t,v)$ (3)

$m\ d^2u/dt^2=F(t,u,du/dt)$ (4)

این اولین معادله‌ی دیفرانسیل ما بود. در فصول آینده در مورد هر دو صورت این معادله بیشتر بحث خواهیم کرد.

چند مثال دیگر از معادلات دیفرانسیل:

$ay''+by'+cy=g(t)$ (5)

$sin(y)\frac{d^2y}{dx^2}=(1-y)\frac{dy}{dx}+y^2e^{-5y}$ (6)

$y^{(4)}+10y'''-4y'+2y=cos(t)$ (7)

$\alpha^2\ \frac{\partial ^2u}{\partial x^2}=\frac{\partial u}{\partial t}$ (8)

$a^2 u_{xx}=u_{tt}$ (9)

$\frac{\partial ^3u}{\partial ^2x\partial t}=1+\frac{\partial u}{\partial y}$ (10)

مرتبه (Order)

مرتبه‌ی یک معادله دیفرانسیل عبارت است از بالاترین مرتبه‌ی مشتقی که در آن معادله به کار رفته.

در معادلات بالا، معادله‌ی سوم یک معادله
دیفرانسیل مرتبه اول و معادلات (4)، (5)، (6)، (8) و (9) معادلات دیفرانسیل
مرتبه‌ی دوم هستند. (10) یک معادله دیفرانسیل مرتبه‌ی سوم و (7) یک معادله
دیفرانسیل مرتبه‌ی چهارم است.

توجه داشته باشید اینکه مشتقات از نوع معمولی یا جزئی باشند فرقی نمی‌کند.

ما نگاه بخصوصی به معادلات دیفرانسیل
مرتبه‌ی اول و دوم خواهیم داشت. همان طور که خواهید دید اکثر تکنیک‌های حل
معادلات دیفرانسیل مرتبه‌ی دوم می‌توانند برای حل معادلات دیفرانسل مراتب
بالاتر تعمیم یابند. در آینده بیشتر در مورد آن بحث خواهیم کرد.

معادلات دیفرانسیل معمولی ومعادلات دیفرانسل با مشتقات جزئی (Ordinary & Partial)

اگر معادله دیفرانسیلی تنها شامل مشتقات معمولی باشد به آن معادله
دیفرانسیل معمولی یا ODE می‌گویند. به همین صورت، به معادله دیفرانسلی که
شامل مشتقات دیفرانسیلی (جزئی) باشد، به آن معادله‌ دیفرانسیل با مشتقات
جزئی یا PDE می‌گویند. در معادلات دیفرانسیل بالا، معادلات (3) تا (7) از
نوع ode و معادلات (8) تا (10) pde می‌باشند.

اکثر بحث ما روی odeها خواهد بود. تنها استثنا فصل آخر است که در آن
نگاه کوتاهی به یک راه حل کلی و پایه برای حل pdeها خواهیم پرداخت.

معادلات دیفرانسیل خطی (Linear)

هر معادله دیفرانسلی که بتوان آن را به فرم زیر نوشت یک معادله دیفرانسیل خطی است:

$a_n(t)\ y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)\ y^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)y'(t)+a_0(t)y(t)=g(t)$ (11)

نکته‌ی مهم در مورد معادلات دیفرانسیل خطی این است که در این نوع
معادلات، هیچ حاصلضربی از (y(t و مشتقات آن وجود ندارد، همچنین این تابع و
هیچکدام از مشتقاتش به توان نرسیده‌اند (توان آنها یک است).

ضرایب a0 تا an و (g(t می‌توانند توابعی صفر
یا غیر صفر، توابعی ثابت یا متغیر ویا توابعی خطی یا غیرخطی، باشند. تنها
تابع (y(t و مشتقات آن هستند که برای تشخیص خطی یا غیر خطی بودن معادله
دیفرانسیل به کار می‌روند.

اگر معادله دیفرانسیلی را نتوان به فرم (11) نوشت، آنگاه به آن یک معادله دیفرانسیل غیرخطی می‌گوییم.

در بین معادلات (5) تا (7) در بالا، فقط
معادله‌ی (6) غیر خطی است. سایرین همه معادلات دیفرانسیل خطی هستند. در
مورد (3) و (4) نمی‌توان نظری داد چراکه نمی‌دانیم تابع F چه فرمی دارد.
این معادلات بسته به تابع F می‌توانند خطی یا غیرخطی باشند.

جواب

جواب یک معادله‌ی دیفرانسیل در بازه‌ی $\alpha<t<\beta$ می‌تواند هر تابع $y(t)$ ای که معادله را در بازه‌ی فوق برآورده کند، باشد.

این نکته مهم است که بدانیم جواب‌ها معمولا
همراه با بازه بیان می‌شوند که این بازه‌ها اطلاعات مهمی را درباره‌ی جواب
در بر دارند. مثال زیر را در نظر بگیرید:

مثال 1

نشان دهید که $y(x)=x^{-3/2}$ یکی از جواب‌های $4x^2y''+12xy'+3y=0$ در بازه‌ی x>0 است.

جواب

مشتقات اول و دوم تابع y نسبت به t به صورت زیرند:

$y'(x)=-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

$y''(x)=\frac{15}{4}x^{-\frac{7}{2}}$

این دو مشتق و خود تابع را در معادله دیفرانسیل اصلی جایگزاری می‌کنیم:

$4x^2(\frac{15}{4}x^{-\frac{7}{2}})+12x(-\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}})+3(x^{-3/2})=0$

$15x^{-3/2}-18x^{-3/2}+3x^{-3/2}=0$

$0=0$

بنابراین $y(x)=x^{-3/2}$ معادله را برقرار می‌کند و بنابراین یک جواب است.

اما چرا شرط $x>0$ را بیان کردیم؟

شاید به نظر آید وجود این شرط برای رسیدن به جواب الزامی نیست. برای درک این مطلب نگاهی دوباره به تابع y داریم:

$y(x)=x^{-3/2}=\frac{1}{\sqrt{x^3}}$

در این نما مشخص است که x نمی‌تواند صفر باشد چراکه منجر به تقسیم به صفر خواهد شد.

برای راحتی کار در این کلاس، یک قانون داریم که میگوید هر گاه با اعداد حقیقی شروع کردید، با اعداد حقیقی به پایان برسانید. به عبارت دیگر اگر معادله دیفرانسیل ما فقط شامل اعداد حقیقی بود ما دنبال جواب‌های موهومی نمی‌گردیم.

در این مثال برای دور زدن جواب‌های موهومی، باید مقادیر منفی x را نیز دور بزنیم.

در این مثال ما دیدیم با وجود اینکه یک تابع
می‌تواند به صورت نمادین، جواب یک معادله دیفرانسیل باشد، به علت
محدودیت‌هایی که ما برای جواب قائل می‌شویم، برخی مقادیر متغیر مستقل
برایمان قابل قبول نخواند بود. و بنابراین لازم است محدودیت‌هایی برای
متغیر مستقل در نظر گرفته شود تا جواب‌های نامطلوب حذف گردند. این موضوع
مربوط به جایی است که معادلات دیفرانسیل ما جواب‌های زیادی داشته باشند.

در آخرین مثال، به این موضوع توجه کنید که
برای معادله دیفرانسیل داده شده، جواب‌های زیاد دیگری قابل تصور است. برای
مثال تمام موارد زیر نیز می‌توانند جواب باشند:

$y(x)=x^{-1/2}$

$y(x)=-9x^{-3/2}$

$y(x)=7x^{-1/2}$

$y(x)=-9x^{-3/2}+7x^{-1/2}$

اثبات اینکه اینها نیز جواب معادله هستند به
عهده‌ی شما. اما با داشتن این جواب‌ها آیا می‌توانید هیچ جواب دیگری برای
معادله دیفرانسیل مذکور به دست آورید؟ در حقیقت بی‌نهایت جواب برای این
معادله دیفرانسیل وجود دارد.

حال که می‌دانیم بی‌نهایت جواب برای معادله
دیفرانسیل مثال قبل وجود دارد (فرض می‌کنیم شما حرف مرا در این زمینه قبول
دارید) طبیعتا سوالی به ذهن می‌رسد: «کدام یک از این جواب‌ها، جوابی است که
ما به دنبال آن هستیم؟ و آیا اساسا تفاوتی می‌کند که ما از کدام جواب
استفاده کنیم؟» این سوال ما را به تعریف بعدی هدایت می‌کند:

شرط/شرایط اولیه initial conditions

شرایط اولیه، شرایطی هستند، در مورد جواب، که به ما کمک می‌کنند بفهمیم
به دنبال کدام جواب هستیم. شرایط اولیه (که با حروف i.c مخفف می‌کنیم)
دارای فرم کلی زیرند:

$y(t_0)=y_0$ and/or $y^{(k)}(t_0)=y_k$

به عبارت دیگر می‌توان گفت، شرایط اولیه، مقادیری از جواب و/یا مشتقات آن، در نقاط بخصوص هستند.

همان گونه که به زودی خواهیم دید، جواب
معادلات دیفرانسیلی که به اندازه کافی خوش رفتار باشند، منحصر به فرد است و
در نتیجه تنها یک جواب در شرایط گفته شده صدق خواهد کرد.

همان طور که خواهیم دید، تعداد شرایط
اولیه‌ای که برای حل یک معادله دیفرانسیل لازم است، به مرتبه‌ی معادله
دیفرانسیل وابسته خواهد بود.

مثال 2

$y(x)=x^{-3/2}$ یک جواب برای معادله‌ی $4x^2y''+12xy'+3y=0$ و شرایط اولیه‌ی $y(4)=\frac {1}{8}$ و $y'(4)=-3/64$ است.

جواب

در مثال قبل اثبات کردیم که تابع داده شده یک جواب است و حال داریم:

$y(4)=4^{-3/2}=1/(\sqrt{4})^3=1/8$

$y'(4)=-\frac{3}{2}4^{-5/2}=-\frac{3}{2}\frac{1}{(\sqrt{4})^5}=-3/64$

و نتیجه می‌گیریم که این جواب شرایط اولیه‌ی $y(4)=\frac {1}{8}$ و $y'(4)=-3/64$ را نیز پوشش می‌دهد.

در حقیقت $y(x)=x^{-3/2}$ تنها جواب معادله‌ی دیفرانسیل است که در دو شرط مذکور صدق می‌کند.

مسئله‌ی مقدار اولیه Initial Value Problem

مسئله‌ی مقدار اولیه (یا به طور اختصار IVP) یک معادله دیفرانسیل همراه با تعداد مناسبی شرایط اولیه است.

مثال 3

آنچه در زیر آمده یک IVP است:

$4x^2y''+12xy'+3y=0$

$y(4)=\frac {1}{8}$ , $y'(4)=-3/64$

مثال 4

یک نمونه IVP دیگر.

$2t\ y'+4y=3$ $y(1)=-4$

همان طور که قبلا اشاره شد، تعداد شرایط اولیه‌ی لازم برای حل، به مرتبه‌ی معادله دیفرانسیل بستگی دارد.

بازه‌ی اعتبار Validity Interval

بازه‌ی اعتبار یک IVP با شرایط اولیه‌ی:

$y(t_0)=y_0$ and/or $y^{(k)}(t_0)=y_k$

بزرگترین بازه‌ی ممکنی است که در آن جواب معتبر باشد و شامل $t_0$ شود.

برخلاف تعریف ساده‌، یافتن آن مشکل است،
بنابراین در حال حاضر دیگر حرفی از آنها نمی‌زنم و موضوع را به زمانی که
واقعا به حل معادلات دیفرانسیل می‌پردازیم و بازه‌ی اعتبار را لازم داریم
موکول می‌کنم.

جواب عمومی General Solution

جواب عمومی یک معادله دیفرانسیل، عمومی‌ترین
و کلی‌ترین جوابی است که آن معادله می‌تواند داشته باشد، بدون اینکه شرایط
اولیه را در نظر بگیریم.

مثال 5

$y(t)=\frac{3}{4}+\frac{c}{t^2}$ جواب عمومی معادله‌ی $2ty'+4y=3$ است.

اثبات اینکه این تابع در واقع یک جواب معادله دیفرانسیل است را به شما واگذار می‌کنم.

در حقیقت تمام جواب‌های معادلات دیفرانسیل چنین فرمی دارند.

این یکی از اولین معادلات دیفرانسلی خواهد بود که شما حل کردن آن را خواهید آموخت و به زودی خودتان این جواب را به دست خواهید آورد.

جواب واقعی Actual Solution

جواب واقعی یک معادله دیفرانسیل، جواب بخصوصی است که نه تنها در معادله صدق می‌کند، بلکه در شرایط اولیه نیز صدق کند.

مثال 6

جواب واقعی IVP زیر چیست؟

$2ty'+4y=3$ $y(1)=-4$

جواب

در واقع حل این مسئله از آنچه در ابتدا به نظر می‌رسد ساده‌تر است. از
مثال قبل فهمیدیم که همه جواب‌های این معادله دیفرانسیل به شکل کلی $y(t)=\frac{3}{4}+\frac{c}{t^2}$ هستند. (البته فرض را بر این می‌گذاریم که شما این حرف من را در این زمینه قبول دارید)

تنها کاری که لازم است انجام دهیم، یافتن مقدار c به گونه‌ای است که در
جواب مورد نظر ما صدق کند. برای پیدا کردن آن کافیست از شرط اولیه به صورت
زیر استفاده کنیم:

$-4=y(1)=\frac{3}{4}+\frac{c}{1^2}\rightarrow c=-4-\frac{3}{4}=-\frac{19}{4}$

بنابراین جواب واقعی IVP به صورت زیر خواهد بود:

$y(t)=\frac{3}{4}-\frac{19}{4t^2}$

از این مثال آخر درمی‌یابیم که پس از پیدا
کردن جواب عمومی معادله دیفرانسیل، پیدا کردن جواب واقعی معادله، تنها با
به کار بردن شرایط اولیه و حل معادلات حاصله برای یافتن مقادیر ثابت مجهولِ
جواب عمومی، امکان پذیر است.

جواب مشهود/غیرمشهود Implicit/Explicit

در این مورد ساده‌تر است که ابتدا جواب
مشهود را تعریف کنیم و سپس بگوییم که چه چیزهایی جواب غیرمشهود نیستند، و
سپس با مثالی تفاوت‌ها را بیان می‌کنیم.

هر جوابی که به فرم $y=y(t)$ باشد یک جواب مشهود است. به عبارت دیگر تنها جایی که y را می‌بینیم سمت چپ معادله است و تنها به توان یک رسیده است.

جواب غیر مشهود، هر جوابی است که مشهود نباشد.

به این نکته توجه کنید که می‌توان جواب مشهود/غیرمشهودِ عمومی، یا جواب مشهود/غیرمشهودِ واقعی برای یک معادله متصور شد.

مثال 7

$y^2=t^2-3$ جواب واقعی غیرمشهود برای $y'=t/y,\ \ \ y(2)=-1$ است.

در حال حاضر از شما می‌خواهم به من در مورد اینکه این جواب واقعا یک
جواب معادله است اعتماد کنید. شما نحوه‌ی بدست آوردن این جواب را در فصول
بعدی خواهید آموخت.

نکته‌ی مهم در این مثال این است که چون در سمت چپ معادله، به جای یک $y(t)$ تنها، یک $y^2$ وجود دارد، این جواب نمی‌تواند یک جواب مشهود باشد.

مثال 8

یک جواب واقعی مشهود برای $y'=t/y,\ \ \ y(2)=-1$ بیابید.

جواب

از مثال قبل می‌دانیم جواب غیرمشهود IVP، $y^2=t^2-3$ است. برای پیدا کردن جواب مشهود، تنها کاری که باید بکنیم حل این معادله بر حسب $y(t)$ است:

$y(t)=\pm \sqrt{t^2-3}$

حالا اینجا مشکلی داریم. در اینجا دو تابع بدست آوردیم در حالی که تنها
یکی از آنها را می‌خواهیم و در واقع تنها یکی از آنها درست است! جواب درست
را با اعمال دوباره‌ی شرایط اولیه می‌توان پیدا کرد. تنها یکی از آنها در
شرایط اولیه صدق می‌کنند.

در این مورد می‌توان دید که جواب منفی جواب صحیح است. بنابراین جواب مشهود واقعی عبارتست از:

$y(t)=-\sqrt{t^2-3}$

در این مورد ما توانستیم یک جواب مشهود برای معادله دیفرانسیل بیابیم.
ولی باید توجه داشت که همیشه امکان پیدا کردن جواب مشهود وجود ندارد.

همچنین توجه کنید که در این مورد خاص ما تنها قادر بودیم جواب مشهود
واقعی را به واسطه‌ی داشتن شرایط اولیه بدست آوریم که به ما کمک کرد بفهمیم
کدام یک از دو تابع، جواب درست است.

مشکلات ما در یادگیری و آموزش ریاضی

دیدگاه
های نوین آموزش ریاضی بر اهمیت تفکر و استدلال ، شناخت مفاهیم ریاضی و
چگونگی پردازش آنها و تاکید بر فراگیران به مثابه آحاد انسانی تاکید دارد.
محققان در عرصه آموزش ریاضی میکوشند تا از منظر درون و برون ریاضی مقوله
یاد دهی – یادگیری و حل مسئله را مورد مطالعه قرار دهند.
عدم آشنایی
لازم با دانش ، آموزش ریاضی در کشور ، کمبود شدید نیروی متخصص با تحصیلات
منظم در این رشته و ورود افراد غیر حرفه ای موجب شده است که این دانش در
جایگاه مناسب خود قرار نگیرد و سرفصلهای غیر استاندارد و سلیقه ای بر دروس
آموزش ریاضی حاکم و به تدریس کتابهای دبیرستانی در کلاسهای آموزش ریاضی
بسنده شود.
بسیاری از فارغ التحصیلان دانشگاهی دوره های کارشناسی و
بالاتر رشته‌های ریاضی که به رغم دانش نسبتا خوب ریاضی شان قادر به اداره
کلاس درس و موفق در امر یاد دهی ریاضی نیستند و با آزمون و خطا تجربه لازم
را بدست می آورند. در واقع باید اذعان کرد که ریاضی دانستن و برخورداری از
دانش ریاضی یک مقوله است ، در حالی که تدریس ریاضیات مقوله ای دیگر. هرچند
که این دو با یکدیگر در تعاملند.
در مقاله حاظر با طرح چند پرسش ، سعی
شده است ؛ پاسخی برای آنها بیابم ؛ ولی اینکه آیا آن پاسخها درستند و شدنی ،
خود پاسخی برای آن ندارم.ولی همین بس که ، با طرح این سؤالات ، پاره ای از
مشکلات عمده ای که از آن به عنوان مشکلات درسی دانش آموز نام برده میشود
آشکار میشود. به نظر من با حل مشکلات مورد اشاره در این مقاله ، حل دیگر
مشکلات امر آموزش ریاضی سهل خواهد بود.پیشنهادات ارئه شده در این مقاله
مورد بررسی و نقد است. ادعا نمیکنم که تمامی آنها شدنی و قابل اجرایند ولی
مدعی قابل تامل بودن آنها هستم.
ریاضیات ؛ راه حل کدام است؟

ریاضیات نقش گسترده ای در زندگی آینده افراد داراست ، ریاضیات قادر است با
اثر گذاری بر شخصیت انسان آنها را در برابر مشکلات آینده زندگی مقاوم تر
کند. مطالعه ریاضیات و تفکر در مسائل ریاضی انسان را خلاق و پویا کرده و
قادر است از او شخصیتی بسازد که بهتر در مورد مسائل روزمره زندگی خود
استلال و تفکر کند.
آیا ما به عنوان یک مدرس ریاضیـات تـوانسته ایم این بعد ریاضی را به دانش‌آموزان خود آموزش دهیم ؟
آیا توانسته ایم به او بفهمانیم که میتواند فکر کند و او قادر است استدلال کند؟
گـویا تنهـا تـدریس ریـاضیات شده است ارائـه تعاریف ، مثالـهـا و حـل تمرینات‌ موجود ‌کتاب و … .
در ریاضیات دبیرستانی دانش آموز مایل است بداند که آنچه می خواند در کجای زندگی او کاربرد دارد ؟
آیا برای او پاسخی داریم؟ یا اینکه سؤال او و ما یکسان است !
چرا باید در کلاسهای خود به جبر ، ریاضی تدریس کنیم؟ چرا به جبر از آنها تمرین و پاسخ بخواهیم ؟
چرا او خود بدنبال یادگیری ریاضیات نیست و تنها این مائیم که با ترفندهای
گوناگون او را مجبور به یادگیری و شاید حفظ کردن مفاهیم میکنیم.
چرا نباید متعلم داوطلبانه در فرایند یادگیری شرکت کند ؟
آیا راه کاری وجود دارد و یا راه کارها عملی هستند؟
در مقطع دبیرستان ، دانش آموز باید بر اهمیت ارتباط میان انتخابهای علمی و
سایر انتخابهای دوران زندگی خود واقف شوند. این مسئله حیاتی است که مربیان
ریاضی بکوشند تا باور دانش آموزان را نسبت به ارزش دانش ریاضی و کارامدی
آن در جامعه تقویت ؛ و آنان را متقاعد سازند که توان و ظرفیت انجام
فعالیتهای ریاضی را در حال و آینده دارند و به گونه ای پیوسته اطلاعات به
روز و قابل اعتمادی را در عرصه مقولات زیر فراهم آورند.

به
عبارتی ، دوران دبیرستان میتواند فرصتهایی را برای تقویت و تثبیت مفاهیم و
مهارتهای ریاضی دانش آموزان فراهم آورد که یادگیری های بعدی را در این عرصه
، به ویژه تحصیلات تخصصی دانشگاهی مرتبط با دانش و تجربه ، تسهیل سازد.

فیزیکی بر دانش ریاضی.

ریاضی است.

آموزش عالی و دنیای واقعی کار و حرفه است.
بنابراین همه کسانی که بگونه ای در امر تعلیم و تربیت ریاضی دخیل هستند،
اعم از والدین ، مربیان و برنامه ریزان ، باید با یاری یکدیگر و هم اندیشی
های سودمند بکوشند تا طرز تلقی ها ، ادراک و تصمیم سازی های فراگیران را در
عرصه ریاضی شکل دهی و هدایت کنند. از مهمتریـن هدفهای آموزشی ریاضی ، آن
گونه که NCTM و سایـر پـژوهشگــران اعلام کــرده اند ، ایـن است کـه انجمن
دبیران ریاضی ، جهت کسب اطلاع بیشتر به سایت اینترنتی مراجعه نمایید..دانش
اندوزان بیاموزندکه برای ریاضیات ارزش قائل شوند و به کارایی آن در جریان
زندگی و پرورش نیروی تفکر و استدلال و تحلیل واقف شوند. به علاوه ، نسبت به
قابلیتها و ظرفیتهای خویش در انجام تکلیفهای ریاضی و موقعیتهای مختلف حل
مسئله اعتماد و اطمینان یابند تا جایی که کار و تلاش در ریاضی برای آنان
همچون عملی رضایت بخش و مسرت آفرین درآید ، نه عملی اضطراب زا و ملالت بار !
دیدگاه نوین آموزش ریاضی بر این مهم تاکید دارد که انتقال منفعلانه مفاهیم
و مهارتهای ریاضی توسط معلمان ، یادگیری معنادار را برای فراگیران به
همراه ندارد و هرگز موجب رشد و پویایی تفکر ریاضی نخواهد شد ، بلکه این
فراگیران هستند که با مشارکت فعالشان در عرصه آموزش و یادگیری ریاضی بر
مبنای دانش و تجربه‌های پیشین خود ، ریاضیات را امری قابل فهم و لذت بخش می
سازد . تولید، تثبیت و تقویت تفکر ریاضی برای فراگیران هنگامی روی می دهد
که با هدایت معلم تلاش کنند خود در ساختن مفاهیم ، مهارتهای جدید ریاضی و
نیل به آنها مشارکت موثر داشته باشند.

به گفته نوربرت وینر : “ هنر
ریاضیات ، هنر درک پرسشهای درست است و قطعه اصلی کار در ریاضیـات تخیل است
و آنچه ایـن قطعه اصـلـی را به حـرکت در می آورد ، منطق می باشد و امکان
استدلال منطقی زمانی پدید می آید که ما پرسشهای خود را درست مطرح کرده
باشیم. “ این موضوع که چگونه فراگیران میتوانند دانش و تجربه های پیشین خود
را در موقعیتهای جدید یادگیری به کار گیرند و با طرح پرسشهای مناسب در
ساخت مفاهیم شرکت داشته باشد ، جای بحث و تالم بسیار دارد. در قلمروی کار
ریاضی ، متخصصان با طرح نظریه هایی به این مهم پرداخته اند. اعجوبه
آمریکایی که در سن هفده سالگی ار دانشگاه هاوارد دکترای ریاضی گرفت.ما می
توانیم با برگـزاری همایشها و بـرنامه های علمی و استفاده از تجارب اساتید
دانشگاهی و متخصصان آموزش ریاضی و متبحران در علوم دیگر ( مانند علوم پایه
، علوم فنی و مهندسی و رشته ای علوم پزشکی و . . . ) این نظریات را بررسی
کرد و بهترین راهکار را انتخاب کرده و در برنامه تدریس خود قرار
دهیم.چنانچه در بالا گفته شد دانش آموز نقش بیشتری در امر آموزش ریاضی دارد
و معلم تنها هدایت و نظم دهی به فرایند یادگیری را بر عهده دارد از اینرو
می توان ؛ در سطح پایین تری ( محیط دبیرستان یا مراکز آموزشی ) با دعوت از
صاحبان مشاغل مختلف که از ریاضیات بطور مستقیم یا غیر مستقیم در حرفه خود
استفاده میکنند ( مانند طراحان ، معماران ، مهندسان و متخصصان خط تولید
کالا و . . . ) و حضور آنها در جمع دانش آموزان به این هدف تا اندکی دست
یافت.در این جلسات دانش آموز قادر است برای برخی از پرسشهای خود پاسخی
بیابد و هر پاسخ قدمی او را به ریاضیات نزدیکتر می کند.
مولفان کتب
ریاضی دبیرستانی نیز میتوانند با گنجاندن مفاهیم کاربردی ریاضی به موازات
بیان مطالب درسی ، معلم را در رسیدن به اهداف مورد نظر ، یاری کنند.دانش
آموز ، کاربرد مطلب و مفهوم ریاضی را در یک امر عینی زندگی مشاهده میکند و
او قادر است با این مثال عینی که خود آن را حل کرده است به آن مفهوم ریاضی
نیز دست پیدا کند.
پیشنهـاد دیگری که در این راستا ارائه مــی شود
تـالیف کـتـاب درسی با نام “کاربردهای ریاضی “ است که عمده مباحثی که باید
در کتاب پیشنهادی به آن پرداخته شود عبارتند از:
الف ) کاربرد ریاضی در فیزیک
ب ) کاربرد ریاضی در شیمی
ج ) کاربرد ریاضی در صنعت
د ) کاربرد ریاضی در زندگی
با پرداختن به مباحث فوق در کتاب پیشنهاد شده قادر خواهیم بود ، دانش آموز
را اندکی متوجه ریاضیات و کاربرد ریاضیات کنیم و به او یاد دهیم که دیگر
کاربردهای ریاضی را ، خود بیابد.
می توانیم به دانش آموز غیر مستقیم
بگوییم که “ مسائل ریاضی تنها تمرینات کتاب ریاضی نیست ؛ بلکه تمام پیرامون
تو پر از مسائل ریاضی است . “دانش آموز یاد می گیرد مسئله طرح کند و برای
یافتن پاسخ ، فکر کند و با یافتن پاسخش ، لحظاتی را شاد بگذراند.
به هر
حال چنانچه اطلاعات عرضه شده به فراگیران در درس ریاضی به صورت قطعه های
خبری مجزا ، ناپیوسته و گاه غیر مرتبط با هم دیده شوند ، انتظاری برای چنین
مشارکتی نمی توان داشت. به علاوه باید متوجه باشیم که یادگیری در ریاضی با
سرعتی یکسان و هماهنگ در دانش آموزان یک کلاس درس اتفاق نمی‌افتد. از این
رو ، یادگیری های انفعالی که به شتاب و به چگونگی یادگیری در افراد توجهی
ندارد ، طبعا به بروز یادگیری های طوطی وار می انجامد. از سوی دیگر ،
بسیاری از مشکلاتی که در نگرش به آموزش و یادگیری ریاضیات اتفاق می افتد ،
به واقع ناشی از برداشتهای غلط در مورد طبیعت ریاضیات است. این مهم در
ساختن باورهای فراگیر در عرصه کار و ریاضی تاثیری قابل تامل دارد.معلمان و
مدرسان درس ریاضی در کلاسهای درس خود همواره با دانش آموزانی مواجهند که در
درک مفاهیم و تجزیه و تحلیل مسائل ریاضی مشکلات خاص خود را دارند ، و حتی
گاهی آنان از دانستن ابتدایی ترین مفاهیم ریاضی نیز عاجزند.همچنین یکسان
نبودن سطح درک ریاضی در کلاسها موجب ایجاد روشی ابداعی و غیر علمی از جانب
مدرس ریاضی می شود که شاید مشکلات دانش آموزان ضعیف را چند برابر کند و
گاهی اوقات ضربه ای غیر قابل جبران ( جسمی ، روانی و . . . ) به دانش آموز
مستعد درک ریاضی وارد کند. این روشهای ابداعی ، تنها بر اساس شخصیت مدرس
شکل میگیرد و همواره متناوب و بینظم است .کلاس درسی که از چنین روشهای
تدریسی استفاده می شود ، بازدهی خوبی نداشته و دانش آموزان حاظر در چنین
کلاسی همواره با تنشهای روانی مواجهند.
روانشناسان علاقمند به آموزش
ریاضی می کوشند تا دریابند چگونه عاملهای گوناگون بر تفکر و رفتار ریاضی
فراگیران موثرند و این سؤال که ریاضی گونه اندیشیدن به چه معناست ، در
مرکزیت این مطالعه قرار گرفته است.چرا روانشناسان در فهم ما از اینکه مردم
چگونه ریاضی را یاد می گیرند نقش فراوانی دارد؟ این پرسشی است که پاسخ آن
هنوز برای بسیاری مبهم و ناشناخته است و به رغم برخی تلاشها در به کارگیری
ابزار روان شناختی در تییین یادگیری و آموزش علوم از جمله ریاضیات ، می
توان مدعی شد که هنوز اندکند کسانی که با نگرش روان شناختی در این عرصه
تلاش می کنند.
عبارت روان شناسی یادگیری ریاضی نه تنها در میان مردم
عادی ، بلکه در جمع معلمان و مربیان ریاضی ، به ویژه در جامعه ما ، چندان
آشنایی نمی باشد. به علاوه، آنچه دانشجویان به ویژه در رشته های دبیری از
مباحث روان شناختی می‌آموزند غالبا همچون مفاهیم کلی و بی ارتباط با سایر
شاخه های معرفت بشری از جمله علوم تجربی و ریاضیات برایشان جلوه گر می شود.
از اینرو ارتباطی معنا‌دار بین دانسته های آنان در روان شناسی و تلاش در
عرصه فراگیری ریاضی مشاهده نمی شود. مثلا دنشجویان در درس روان شناسی
تربیتی با نظریه های مختلف یادگیری آشنا می شوند در حالیکه کمترین اطلاعی
از کاربرد این الگوها در یادگیری و آموزش ریاضی و تدوین برنامه های درسی
ندارند و نمیدانند که این الگو ها چگونه می تواند رفتار فراگیران را پیش
بینی کند.
با برگزاری کلاسهای آموزشی کوتاه مدت ، قادریم مدرسان ریاضی
را در ارائه روشهای برتر تدریس یاری کرد و با بهره گیری از دانش روان
شناسان ، فرایند آموزش ریاضی را در این کلاسها بررسی و با ارائه راه کارهای
علمی از افت شدید دانش آموزان جلوگیری کنیم.
اسکمپ می گوید:

1-یادگیری و آموزش ریاضی از مقوله های روان شناختی است و ما پیشرفت قابل
ملاحظه ای در ریاضی نخواهیم داشت ، مگر اینکه بدانیم ریاضی چگونه یاد گرفته
می شود. ۲ – افـــزایش فرصتهایـی در زندگی دانش آموزان که در نتیجه
مطالعات آینده در ریاضی برای آنان فراهم خواهد شد. ۳ – چـگونگی اتکا
فـزاینده سایـر عرصه هـای علم و زندگی غیر ریاضیات و علوم ۴ – لازمه فارغ
التحصیلی فراگیر از دبیرستان ، یادگیری موفقیت آمیز بخشهایی از ۵ – مشکلات
مربوط به مرتبط ساختن ریاضیات متوسطه و دوران قبلـی ، ریاضـی.6 – چگونگی
مرتبط ساختن آنچه دانش آموزان در ریاضی می آموزند با انتخابهای تحصیلی و
شغلی آنان.

تفاوت معادله دیفرانسیل خطی با غیر خطی

تفاوت معادله دیفرانسیل خطی با غیر خطی

معادله دیفرانسیل