منطق ریاضیات

نگرشی بر پیشینة تاریخی، منطق ریاضی (جدید)

چکیده:

بخش بزرگی از فلسفه ای که امروزه رواج دارد، نشأت گرفته ازآراء افرادی چون «وایتهد
و راسل» است که شالودة منطق ریاضی (جدید) را بنا نهادند.

در واقع، منطق ریاضی را باید ازمبانی ریاضیات جدیدوفلسفة تحلیلی به حساب آورد، کاری
که به دست برخی از فلاسفه دراین حوزه آغاز گردید، بطور عمده به اصول ریاضیات ورابطة
ریاضیات ومنطق مربوط بود، اما نتایج چنان گسترده ای به بارآورد که به تدریج درفلسفه
تأثیر عمیق برجای گذاشت.

نگرش کلی بر پیشینة تاریخی منطق ریاضی وفراهم نمودن زمینه برای مباحث گسترده تر
بعدی، از اهداف این مقاله است.

مقدمه:

ریاضیات، همواره شبهه ناپذیرترین، دقیق ترین و روشن ترین معرفت تلقی می شود. بدین
جهت، بسیاری از فلاسفه در ریاضیات تحقیق کرده اند تا دریابند، ریاضیات واجد چه
خصیصه ای است که نتایج حاصل از آن اینچنین وثیق و مورد اعتماد است؟ و ایا چنین
خصیصه ای را می توان برای کسب سایر اقسام معرفت نیز به کار برد و روشهای آن را در
زمینه های دیگر هم بکار بست یا خیر؟

این گونه پژوهشها در مفاهیم، روشها، اسلوبها ومدلهای دخیل در ریاضیات و فلسفه را
«فلسفة ریاضیات» نام نهاده اند.

در واقع، میل به تعمیق فهم ودرک از جهان وساختار آن، بستگی پایداری را بین فلسفه
وعلوم ریاضی به وجود آورده است. اغلب فلاسفة بزرگ از ریاضیات یا علوم به فلسفه روی
آورده اند. «افلاطون»[۱] دستور داده بود، برسر در مدرسة او «آکادمیا» این جمله را
نصب نمایند: « کسی که هندسه نمیداند وارد نشود.»؛ برخی از بزرگترین فیلسوفان، مبدع
شاخه های جدید ریاضی هستند مانند: دکارت،[۲] لایپ نیتس[۳] و پاسکال[۴].

سه نحلة عمدة فلسفی که امروزه در باب مبانی ریاضیات مطرح اند؛ هر یک در ادامة مباحث
مهم ریاضی و توجه به روش ریاضی، به عرصة بروز وظهور رسیده اند والبته، هر کدام را
باید متأثر از کاوشهای فلسفی پیشین در باب مبانی ریاضیات دانست.[۵] روش ریاضی (روش
استنتاجی محض) در نزد ریاضیدانان کنونی و فیلسوفان ریاضی از اهمیت بسیار زیادی
برخوردار است، تلاش اصلی در این نحله های فلسفی این است که مبانی ریاضیات از نظر
واقع گرایی و نزدیکی به واقعیت تبیین گردد.

یکی از این سه نحلة عمده، با عنوان «منطق گرایی» شالودة « منطق جدید» ویا «منطق
ریاضی»[۶] را بنا نهاد. کاری که به دست این نحله آغاز گردید بطور عمده به اصول
ریاضیات ورابطة ریاضیات و منطق مربوط بود، اما نتایج چنان دامنه داری پیدا کرد، که
رفته رفته در سراسر فلسفه تأثیر عمیق بر جای گذاشت.

منطق جدید، به اعتبارعنوانی که اکنون پیدا کرده است، «منطق کلاسیک» وبه اعتبار
تحلیل آن از استدلالهای ریاضی و بحث درباره نظامهای صوری، منطق ریاضی نامیده می شود
و از مبانی ریاضیات جدید وفلسفه تحلیلی به حسا ب می اید.[۷]

کشفیات جدید در منطق جدید از مباحث گوناگون منطق در جریان تاریخی پیچیده ای نشأت
گرفته است. سیر تحول تاریخی آن را می توان با نگرش به دو جریان متفاوت در نظر گرفت.
یکی از این دو تاریخ استنتاج صوری است که با ارسطو واقلیدس شروع می شود. جریان دیگر
تاریخ آنالیز ریاضی است که آغاز آن به ارشمیدس باز می گردد. این دو جریان سالهای
متمادی، تا حدود قرن هفدهم، به گونه ای ممتاز از یکدیگر تکامل یافتند. در این زمان
با نیوتن[۸] ولایپ نیتس و کشف حساب انتگرال ودیفرانسیل بوسیله آنها مواجه می شویم
که در نهایت ریاضیات ومنطق را با هم گره می زنند.

توسعة ریاضیات در این زمان و بویژه «حسابی شدن آنالیز»[۹] موجب گردید که مفاهیم
مختلفی از ریاضیات را بتوان به مفاهیم ساده تری تجزیه نمود وآنها را به مدد مفاهیم
ساده تر وبسیار عمومی تر تعریف کرد. همین امر، سبب التزام برخی به این باور گردید
که قضایای ریاضی به عنوان قضایای منطقی باید اثبات شوند و مفاهیم ریاضی باید بر
پایة مفاهیم منطقی تعریف گردند.

لایپ نیتس

مبدع ومخترع منطق ریاضی و نحلة منطق گرایی لایپ نیتس بود. وی حقایق ریاضی و منطقی
را مبتنی بر اصل عدم تناقض ~p (x)Λ ~ p(x)) (“xمی دانست. ونظام ریاضی ومنطقی
رامبتنی براصل عدم تناقض فلسفی می دانست و براین باور بود که کلیه قضایای ریاضی و
از جمله علوم متعارفة آن را می توان به مدد تعریفات واصل عدم تناقض ثابت کرد. در
واقع، ذهن در تهیه و تشکیل علم ریاضیات، به نحو تحلیل عمل می کند و فقط به تعاریف و
اصل عدم تناقض احتیاج دارد وپس از آن تحلیل به عمل می آورد.[۱۰]

از دیگر متفکران عرصه منطق ریاضی که به نحوی در مسیر تکاملی آن نقش مؤثری داشته
اند؛ می توان به جورج بول(م۱۸۶۴-۱۸۱۵)[۱۱] اشاره کرد. وی کوشیده بود تا منطق را
جبری کند و حساب مجموعه ها را تدوین نماید. وی منطق را دست نشاندة ریاضیات می
دانست. ویلیام استنلی جونز[۱۲] (م۱۸۸۲-۱۸۳۵) معتقدبود که منطق علم بنیادین است.
جان ون[۱۳] (م۱۹۲۳-۱۸۳۴) درعین حال که می کوشید تا اختلافهای نظام «بول» را برطرف و
بر بی نظمی معاصردرعرصة نشانه پردازی نمادین غلبه کند، به منطق ریاضیات به چشم شاخه
های جداگانة زبان نمادین نگاه می کرد و برآن بود که هیچکدام دست نشاندة دیگری نیست.
در آمریکا چ.س.پیرس، جبر منطقی بول را تعدیل وکامل تر کرد و نشان داد که چگونه می
تواند پذیرای روایت تجدیدنظر یافتة منطقِ نِسَب که به همت اوگوستوس دمورگان[۱۴]
(م۱۸۱۷-۱۸۰۶) تدوین یافته بود، باشد. در آلمان فریدریش ویلهلم شرودر[۱۵]
(م۱۹۲۰-۱۸۴۱)تنسیق کلاسیکی به جبر منطقی بول که به دست پیرس تعدیل یافته بود،
داد.[۱۶]

فرگه

«ددکیند»[۱۷] و «فرگه»[۱۸] نیز در تحلیل حقایق ریاضی به گزاره های منطقی بدیهی،
تلاش زیادی کردند. فرگه کوشید که درآثارش باعنوان «مبانی حساب »[۱۹] و« قوانین
بنیادی علم حساب»[۲۰] ریاضیات را از جبر جداکند.

فرگه سعی داشت نشان دهد که فرضهای اولیه ای که ریاضیات برآنها استوار است همه از
مقدماتی ترین اصول منطق قابل استنتاجند. براین اساس، هر قضیة ریاضی از مقدمات صرفاً
منطقی به طریق قیاس قابل استنتاج است. شیوةکار وی دربردارندة دو اصل بود:

الف: تعریف مفاهیم حساب، صرفاً درچارچوب منطق

ب: نشان دادن اینکه حساب از مقدمات صرفاً منطقی قابل استنتاج است.[۲۱]

علاوه بر این وی موفق شد نقیصه ای را که منطق ارسطویی تا قرن نوزدهم با آن روبرو
بود، برطرف سازد وآن کلیت تام نداشتن منطق ارسطویی بود. فرگه این نقیصه را مرتفع
گرداند و به این وسیله موفق به بیان مقدماتی شدکه بیشتر علم حساب از آنها قابل
استنتاج بود.[۲۲]

تا پیش از فرگه، تصور می شد که قوانین منطق، قوانین فکر و اندیشة آدمی است به این
معنا که با فرایندهای ذهن آدمی سروکاردارد.[۲۳] فرگه تأکید داشت که منطق یکسره
عینی است و به هیچ وجه با فرایندهای روانی مرتبط نیست. مجموعه هایی که اعداد را به
آنها احاله می کنیم یا برمی گردانیم ذواتی به کلی عینی هستند و بدین جهت منطق،
کاملاً مستقل از روانشناسی است و امکان ندارد که صحت و اعتبار برهان (صدق اینکه چه
چیز از چه چیز لازم می اید یا نمی اید) وابسته به امور امکانی در روان آدمی باشد.
گزاره های منطق، حقایقی عینی هستند که ذهن قادر به دریافت آنهاست، اما صحت و
اعتبارشان به هیچ وجه به ویژگیهای تفکر بستگی ندارد.

پئانو[۲۴]، نیز در همان جهت فرگه، منتها با دستگاهی با کارآمدی کمتر از دستگاه او
کار می کرد. وی قضایای ریاضی را با علائم منطقی تبیین نمود. او به همراه همفکرانش
در کتاب فرمولهای ریاضی[۲۵] (۱۹۰۸-۱۸۹۵) نشان داد که حساب و جبر می توانند از
اندیشه های منطقی خاصی نظیر اندیشه های مربوط به مجموعه و عضویت یک مجموعه، سه
مفهوم ابتدائی ریاضی وشش گزاره ابتدایی اشتقاق یابند. راسل و وایتهد، از طریق وی به
اهمیت کارهای فرگه پی بردند. ایشان از نمادنگاری منطقی یا نشانه پردازی پئانو در
تدوین کتاب «مبانی ریاضیات» که کار پئانو و فرگه را تکامل بخشید، استفاده کردند.

راسل[۲۶] و وایتهد[۲۷]

منطق گرایی و اصول منطق ریاضی بطور عمده بر پایة نظرات راسل می باشد وی بر این
عقیده است که قضایای ریاضی، قابل تحویل به منطق است و قضایای ریاضی مبتنی بر مفاهیم
منطقی است، به عبارت دیگر، ریاضیات قابل تبدیل به منطق است به این معنی که ریاضیات
خالص را می توان اصولاً از پاره ای مفاهیم منطقی بدوی و قضایای غیر قابل اثبات،
استنتاج نمود، وی با ارائة اصل تحویل یا انحلال، تمامی ریاضیات را از یک مجموعه
مبانی، که می بایست منطقی خوانده شوند، استنتاج نمود[۲۸]، بنابراین مطابق عقیده
او، باید ریاضیات را از دل منطق بیرون آورد.

کتاب سه جلدی «پرینکیپیا ماتیما تیکا»[۲۹] مبانی ریاضیات که محصول کار مشترک
راسل[۳۰] و وایتهد در طول ده سال می باشد و در سالهای ۱۹۱۳-۱۹۱۰ منتشر گردید. آنها
کوشیده اند تا نشان دهند که ریاضیات محض قابل تبدیل به منطق است، به این معنی که می
توان ثابت کرد که ریاضیات از مقدمات منطقی محض بر می اید و فقط مفاهیمی را به کار
می برد که قابل تعریف به زبان منطق اند. البته در عمل ما به سادگی نمی توانیم هر
فرمول پیچیده ریاضی را بر داریم و بدون جد وجهد فراوان به زبان اصطلاحات محض منطقی
بیان کنیم؛ ولی اصولاً کل ریاضیات محض، قابل اشتقاق از مقدمات منطقی است، به بیان
راسل، ریاضیات بلوغ منطق است. راسل بر این عقیده بود که رد قاطعی از نظریه های
کانتی به دست داده است و حقیقت تز خویش را در کتاب مبانی ریاضیات مبرهن ساخته است.

آنچه توجه به آن ضروری است، این است که بر خلاف خواست راسل، فرگه و وایتهد، نه تنها
ریاضیات تابع منطق نشد؛ بلکه منطق بیشتر تابع ریاضیات شده است. و هر چه منطق ریاضی،
رفته رفته ریاضی تر شده، ارتباطش با فلسفه کاسته شده است. علاوه بر این باید اعتراف
کرد که تز تحویل ریاضیات به منطق به هیچ وجه مقبولیت عام در بین ریاضیدانان نیافته
است؛ گر چه هیچکس در این امر تردیدی ندارد که تلاش راسل و همفکرانش در زمینه منطقی
کردن ریاضیات و تکامل بخشیدن به منطق ریاضی، کاری عظیم بوده و باعث توسعه منطق
ریاضی گردیده است؛ اما این سیستم در عرضه داشتن نظامی کامل و تمام، توفیق نیافته
است و اشکالات فراوان متوجه این نظام می باشد.



آیا ریاضیات علمی منطقی است؟

منطق ریاضی، ترجمه mathematical logic است. از منطق ریاضی دو معنا مستفاد می شود.
۱- منطق ریاضی به معنای خاص كه در واقع باید ترجمه The logic of mathematic
باشد چرا كه ریاضیات مانند هر علم دیگری از نظمهایی برخوردار است كه این
نظمها تحت عنوان منطق می آید و منطق ریاضی به معنای خاص بررسی ریاضی این
نظمها یا قواعد است.
۲- معنای عامی هم برای منطق ریاضی متصور است كه عبارت است از: استفاده از
روشها و تكنیكهای ریاضی برای بررسی منطق. به این معنا كه منطق ریاضی یك علم
كاربردی است و در مقوله ریاضیات كاربردی قرار می گیرد. بین دو معنای عام و
خاصی كه مطرح شد یك رابطه واقعی عام و خاص نیز وجود دارد. كتاب «منطق
ریاضی» ، كتابی به معنای خاص منطق ریاضی است. یعنی بررسی منطق متعلق به
ریاضیات نه منطق به معنای عام. در واقع باید گفت كه معنای آن اخص است. یعنی
كتابی است برای بررسی ریاضیات كلاسیك. شاید این سؤال پیش آید كه ریاضیات
كلاسیك چیست؟ و مگر ریاضیات غیر كلاسیك نیز وجود دارد؟جواب این است كه با
توجه به نوع نگرش فلسفی كه نسبت به اشیاء ریاضی و عالم ریاضی داریم ریاضیات
غیر كلاسیك هم وجود دارد. به تسامح می توان گفت كه در ریاضیات كلاسیك شیوه
هایی از استدلال و برهان وجود دارد كه در ریاضیات غیركلاسیك مجاز نیست. به
ویژه برهان خلف به عنوان یك برهان كه در ریاضیات كلاسیك به كار می رود در
ریاضیات غیر كلاسیك بر قرار نیست و قاعدتاً منطقی را می طلبد كه با منطق
ریاضیات كلاسیك متفاوت است. در این منطق، ریاضیات ساختی اصل طرد شق ثالث یك
اصل معتبر ریاضی نیست. بنابراین منطق ریاضیات ساختی و به عبارت معروفتر
منطق شهود گرایانه اصول و قواعد كمتری از منطق كلاسیك را دارد.كتاب «منطق
ریاضی» بسیار خاص است. یعنی عبارت است از: بررسی منطق ریاضیات كلاسیك. اما
بین این معنای خاص و عام منطق ریاضی رابطه واقعی وجود دارد. به این معنا كه
حتی در معنای خاص منطق ریاضی ویژگی عام معنایی هم در این مورد وجود دارد.
یعنی این كه ما از تكنیكها و روشهای ریاضیات در بررسی تحقیق درباره ریاضیات
سود می بریم. پس منطق ریاضی به دو وجه ریاضی است. نخست اینكه موضوع آن
موضوع منطق ریاضی است، دوم اینكه روش آن ریاضی است. یعنی اینكه در عالم
ریاضیات با استفاده از اصول و قواعد ریاضی، ما به موضوع منطق ریاضی می
پردازیم. پس منطق ریاضی به معنای عام برای موضوع ریاضیات به دو وجه ریاضی
است و این نكته ای نسبتاً مهم است. ریاضی بودن، روش تألیف دقیق دارد . اگر
بخواهیم خیلی دقیق باشیم – و من اصرار به دقیق بودن آن دارم – این است كه
وقتی می گوییم روش ریاضی است یعنی در عالم نظریه، مجموعه اصول و قواعدی ما
را مجاز می كند كه چه اعمالی را انجام دهیم و یا چه اعمالی را انجام ندهیم.
اما اگر با مسامحه بخواهیم صحبت كنیم روش ریاضی همان علائم و نمادهایی است
كه برای اشاره به اشیا و اعمال جمع و ضرب و تقسیم به كار می رود.بدیهی است
كه هر چه این تكنیك ریاضی را در سطح بالاتری به كار بریم یعنی هر چه هزینه
بیشتری بپردازیم چیز بهتری به دست می آوریم به همین دلیل است كه غالباً
قضایای شگفت انگیز بنیان افكن علم ریاضی از تكنیكهای پیشرفته ای در اثبات
برخوردار است و هر چه روش ریاضی را محدودتر كنیم طبعاً چیز كمتری به دست می
آوریم. به معنای عام منطق ریاضی باز می گردیم. اما منطق چیست . آیا واقعاً
یك منطق وجود دارد و یا منطقهای مختلفی وجود دارند؟ آیا هر كدام از اینها
روش خاص ریاضی را برای بحث می طلبد؟ فارغ از اینكه ما چه تعریفی برای منطق
قائل باشیم شكی نیست كه نقطه آغازین منطق ریاضی ابداع زبان مناسب است و این
پیشفرض علمی منطق ریاضی است كه منطق یا به عبارتی دیگر نظمهای تفكر در
قالب زبان متجلی می شوند. بنابراین زبان، بحث فلسفی عمیقی را می طلبد. چیزی
كه در قالب زبان نیاید در قلمرو كار منطق و ریاضی قرار نمی گیرد. این
زبان، زبان طبیعی نیست گرچه با بررسی و تجزیه و تحلیل زبان طبیعی ساخته می
شوند. این زبان را اصطلاحاً «زبان صوری» می گوییم. در این زبان نمادهایی را
به طور صوری ابداع می كنیم كه این ابداع نمادها آن را از زبان طبیعی جدا
می كند. اما در عین حال این نمادها بدون مبنا انتخاب و ابداع نمی شوند. این
نمادها با تجزیه و تحلیل زبان طبیعی و اجزای زبان طبیعی ساخته می شود.
بنابراین با تجزیه و تحلیل زبان سعی داریم مدل ریاضی بسازیم. به عبارتی
دیگر این بخشی از كار منطق ریاضی است كه ما برای نحوی از زبان ابتدا مدل
ریاضی می سازیم. اما مفاهیم دیگری مثل مفهوم صدق یا حقیقت یا تعریف پذیری
در قلمرو معنا شناسی و دلالت شناسی قرار می گیرند. قسمت دوم كار، مدل سازی
برای معنا شناسی یا دلالت شناسی زبان است. اما در منطق ریاضی بین نحو كلام
یا زبان و یا معناشناسی زبان برای جلوگیری از هر نوع خلط احتمالی جدایی
است. نحو در زبان صوری چیزی شبیه گرامر و دستور زبان است. یكی از مسائل
اساسی كه در این مرحله در منطق ریاضی به آن توجه شده این است كه بین زبانی
كه به عنوان شیء ساختیم و زبانی كه در آن درباره این شیء كه در زبان هست می
خواهیم صحبت كنیم، تمایز اساسی وجود دارد. بنابراین هوشمندی در زبان
جلوگیری از پارادوكسهایی است كه در طول تاریخ وجود داشته و غالباً ناشی از
خلط زبان و مفاهیم فرا زبانی بود مثل عبارت پارادوكس دروغگو. یكی از
مفاهیمی كه به نوعی مشترك در زبان شناسی، فلسفه و منطق است و شاید یكی از
مفاهیم بسیار اساسی باشد مفهوم «معناداری» است. اما متأسفانه باید گفت هیچ
كدام از این سه شاخه تا كنون قادر به ارائه یك مدل از آن نشده اند. در این
زمینه تحقیقات همچنان ادامه دارد. از مفاهیم اساسی كه در نحو زبان وجود
دارد مفهوم «برهان» است كه در مقابل مفهوم «صدق» قرار دارد. یكی دیگر از
علایق اساسی منطق ریاضی رابطه این دو است. اینكه ما در نحو زبان مفاهیمی
داریم و آنها را ابداع كردیم و همین طور در دلالت شناسی زبان مفاهیمی را
مدل سازی ریاضی كردیم و طبیعتاً روابط به این دو مقوله از علائق اساسی منطق
است. اینكه آیا در یك دستگاه منطقی گزاره ای مثل E اثبات یا استنتاج شود
كاملاً یك مفهوم نحوی است كه چگونه یك جمله را از بقیه مفروضاتتان تولید
كنید. تولید كاملاً یك مفهوم مبتنی بر گرامر زبان است و از طرف دیگر بپرسید
كه آیا این جمله راست است یا دروغ؟ یك مفهوم معنایی است اینكه خارج از
زبان بین این دو چه رابطه ای وجود دارد و بررسی رابطه این دو مفهوم از
علائق ذاتی بررسی منطق ریاضی است. تدوین منطق ریاضی اساساً كار سختی است
ولی می توان گفت بین سالهای ۱۸۵۰ تا ۱۹۵۰ این كار توسط چندین نفر صورت
گرفته است. به نظر من ارسطو اولین كسی كه این بنا را بنیاد نهاد. فارغ از
اینكه منطق ارسطو از نظر منطق ریاضی چقدر موجه بنماید و مهم باشد، به نظر
من كاخ عظیم منطق ریاضی را ارسطو ساخته است. این كاخ چنان مستحكم بود كه
حداقل تا ۱۸۷۹ وقتی كه فرگه وارد میدان شد، دوام آورد و تصویر و تصور ما را
با تجزیه و تحلیلی كه نسبت به زبان آغاز كرد از منطق دگرگون كرد. منطق
ارسطویی، تحلیلی را از اجزای جمله شروع می كند كه مبتنی بر موضوع محمول است
و رابطه این تصویر را فرگه دگرگون كرد و آن را تبدیل به تابع و شناسه
نمود. بدین ترتیب مفهومی ریاضی وارد میدان شد و تصویر و تصور ما را از
مفهوم گزاره و جمله تغییر داد. علاوه بر این فرگه كارهای دیگری هم انجام
داد كه بنیاد منطق ریاضی جدید مبتنی بر كارهای فرگه است. سومین كسی كه كار
انقلابی در منطق كرد اما مبتنی بر كارهای فرگه بود گودل است. او در حوالی
سالهای ۱۹۳۱ و ۱۹۳۰ دو نوع قضایای تمامیت و قضایای نا تمامیت را ارائه كرد.
قضیه تمامیت باز می گردد به همان مفهوم و سؤالی كه من در رابطه نحو و
معناشناسی مطرح كردم. آیا در یك دستگاه منطقی یك حكم یا یك گزاره قابل
استنتاج صادق است و بالعكس در حكمی كه صادق است هر معنایی در همه جهانهای
ممكن آیا این قابل استنتاج است و اگر این دستگاه چنین ویژگی داشته باشد
نشان دهنده این است كه این دستگاه كامل و تمام است. گودل در ۱۹۳۰ ثابت كرد
كه این بنیانگذاری منطق بر شالوده تفكر فرگه برای منطق كامل هست. قضایای نا
تمامیت گودل پیچیده تر و البته مأیوس كننده تر برای تفكر بشری است.
* متن مكتوب سخنان دكتر محمد اردشیر، استاد ریاضیات دانشگاه صنعتی شریف در یكصدو هفتاد و چهارمین نشست كتاب ماه ادبیات و فلسفه.


    ویدیو : منطق ریاضیات
این مطلب را به اشتراک بگذارید :

a b